授業/応用数学2B_2015

Q: L[sin t]を \[\sin t = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}\] で求めると s > i になるが、部分積分法で求めると s > 0 になるのは何故か？
A: どちらも、s の実部が正、となります。s > i は正しくは、Re s > Re i、つまり Re s > 0 です。「Re」は実部の意味です。s > 0 も同様。\[e^{it}, e^{-it}\] は t によらず常に振幅が 1 の単位円上の複素数であり、無限区間の積分値は収束しません。これを収束させるため、s の実部が正となる必要があります。sin t と同じ状況です。

Q: \[e^{\alpha t} \sin \omega t \] の負に注意？
A: 話がこの部分に進んだとき、その前の部分で話すつもりだったことを思い出し、話を戻して説明を加えたため、混乱を与えたと思います。また、その説明が中途半端でした。すみません。伝えたかったことは、三角関数について知っている結果 \[ \sin (-\omega t) = - \sin \omega t, \quad \cos(-\omega t) = \cos \omega t \] が、そのラプラス変換 \[ {\cal L}\left[\sin ((-\omega) t)\right] = \frac{(-\omega)}{s^2 + (-\omega)^2} = - \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} = {\cal L}\left[ -\sin\omega t \right] \] \[ {\cal L}\left[\cos ((-\omega) t)\right] = \frac{s}{s^2 + (-\omega)^2} =\frac{s}{s^2 + \omega^2} = {\cal L}\left[ \cos\omega t \right] \] を介しても理解できる、ということです。

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[第3回] 2015.10.21 ラプラス変換の性質（つづき）～逆ラプラス変換†

Q: 逆ラプラス変換時に、留数和による方法は使っても大丈夫でしょうか？
A: 大丈夫です。

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[第4回] 2015.10.28 逆ラプラス変換（つづき：部分分数展開を用いた一般的な方法）～微分方程式への応用†

Q: 部分分数展開の分母からどのようにおいていいかわからない。自由度についてよくわからない。
A: 説明だけして具体的に式を書かなかったため、理解しにくかったかもしれません。以下、はしょった部分を補足します。足りない場合はまた聞いてください。
- まず、例題15(1)でなぜ \[ \frac{s}{(s+2)(s+3)(s+4)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3} + \frac{C}{s+4} \] とおくか。そもそも、上式左辺はかけ算で、右辺は足し算です。ここでは逆ラプラス変換をすることが目的のため、簡単な1～2次の有理関数の足し算で表したい要望があります（もし、上式を満足する定数 A, B, C が求まれば、右辺は直ちに逆ラプラス変換できる）。
  次に、左辺から右辺をどう構成するかについてですが、左辺の極（分母多項式=0）が右辺の極でもあるようにします。つまり、左辺に(s+a)という因子があったら、右辺に1/(s+a)を含める（ただし、未知係数をかける）。上の例では、s を -2 とすると左辺は発散するので、右辺も発散させる必要があります。つまり、共通の極を持つということです。
- では、例題15(2)の場合はどうか。 \[ \frac{1}{(s+1)^2(s-3)} = \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s-3} \] とおけば十分ではないか？左辺も右辺も、s = -1, 3 を共通の極として持つのだから、と思うかもしれません。しかし、自由度が足りません。これは、以下の説明とも重複しますが、左辺の分子多項式が一般の二次多項式の場合、3つの係数が含まれます。ところが右辺の分子多項式には A と B の二つの自由度しかないため、上式を満たすように A, B を定めることが一般にはできません（たまたま左辺の二次多項式が \[ a(s-3)+b(s+1)^2 = bs^2 + (2b+a)s + (b -3a) \] という特殊な形をしていれば、 \[ \frac{bs^2+(2b+a)s + (b-3a)}{(s+1)^2(s-3)} = \frac{a(s-3)+b(s+1)^2}{(s+1)^2(s-3)} \] \[ \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s-3} = \frac{A(s-3)+B(s+1)^2}{(s+1)^2(s-3)} \] より、A = a, B = b と定まりますが）。実際、今の例では分子多項式が 1 なので、s^2 の係数を 0 とするために B = 0 でなくてはなりません。さらに、s^1 の係数を 0 とするために A も 0 となってしまい破綻します。
- 例題15(1) で分子が s^3 の場合：定数項が必要です。これを D とすると \[ \frac{s^3}{(s+2)(s+3)(s+4)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3} + \frac{C}{s+4} + D \] とおけます。実際、 \begin{eqnarray} （上式右辺）&=& \frac{A(s+3)(s+4) + B(s+2)(s+4) + C(s+2)(s+3) + D(s+2)(s+3)(s+4)}{(s+2)(s+3)(s+4)} \\ &=& \frac{A(s^2 + 7s + 12) + B(s^2 + 6s + 8) + C(s^2 + 5s + 6) + D(s^3 + 9s^2 + 26s + 24)}{(s+2)(s+3)(s+4)} \\ &=& \frac{D s^3 + (A+B+C+9D)s^2 + (7A+6B+5C+26D)s + (12A+8B+6C+24D)}{(s+2)(s+3)(s+4)} \end{eqnarray} となって、D=1 となります（逆に言えば、D=0では、s^3 を表せない）。残りの A, B, C は、s^2, s^1, s^0 の係数が全て 0 となるように定める必要がありますが、今、未知数が3で三本の（一次独立な）式があるので、一意に定まります。今の例のように分子多項式が 3 次の場合には、その係数を表すためにA,B,C,Dの四つの自由度が必要となります（分子多項式が2次の場合は三つの自由度が必要）。より一般的に、分子が定数 a_i を持つ任意の三次多項式 \[ a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0 \] の場合には、 \[ \frac{a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0}{(s+2)(s+3)(s+4)} = \frac{D s^3 + (A+B+C+9D)s^2 + (7A+6B+5C+26D)s + (12A+8B+6C+24D)}{(s+2)(s+3)(s+4)} \] となり、s^3, s^2, s^1, s^0 の各係数が両辺で等しくなるように A, B, C, D が a_i で表せます。

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[第5回] 2015.11.4 微分方程式への応用（つづき：初期値の取り扱い）～たたみこみ†

[第6回] 2015.11.11 線形システムの伝達関数とデルタ関数†

□1 の黒板にδ(t)とe^{-t}のグラフと、以下追記（写真取り忘れ、すみません）：

インパルス応答 ... t=0の瞬間の入力による、時刻tにおける正味の出力

Q: 丸4の重みが分からなかった
A: 説明がイマイチでした。説明したかったことは次のことです：
- 積分の中身において、\[ e^{-(t - \tau)} \] は、\[ x(\tau) \] に対する重みとして働く。たとえば x(0) と x(t) に対する重みはそれぞれ \[ e^{-t}, \quad 1 \] となり、 y(t)を定めるためには x(t) の方が x(0) よりも重視される（x(0) は時間 t の経過とともに忘却される）。ただし、これは H(s) = 1/(s+1) の場合の話。
- 一般の H(s) の場合、x(0) が時間 t の経過とともにどうなるか？ ... これを表しているのがインパルス応答 h(t) である（時刻 0 でしか値を持たないデルタ関数の影響が、時間の経過とともにどうなるかを表現しているのだから）。

なお、これは説明しませんでしたが、H(s) = 1/s の場合には、「忘却」されずに一定に保持されつづけます。

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Q: 最後のところを詳しく説明してほしい
A: 一番最後に説明した、簡単な方法、のことだとして以下回答します。違っていたらまた聞いてください。まず、奇関数 f(x) のフーリエ級数展開は、 \[ f(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\frac{n\pi x}{l} \] と書けます。l = 2 に注意すると、練習問題1.5の f(x) は \begin{eqnarray*} f(x) &=& 5\sin 2\pi x - 3\sin 5\pi x \\ &=& 5\sin \frac{4\pi x}{2} -3\sin\frac{10\pi x}{2} \end{eqnarray*} となります。つまり、フーリエ係数は n = 4, 10 のときだけ非ゼロの値をとり、 \[ b_4 = 5, \quad b_{10} = -3 \] であることがわかります。（f(x) はもともとフーリエ級数の形で与えられており、改めてフーリエ係数を求める必要がなかった、ということです）あとは、u(x,t) の式に代入して解が得られます。

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