授業/動的システムの解析と制御

授業

第1回済(2012.11.2) 概要〜第１章　システムを状態方程式で記述する（線形化は割愛）†

• 古典制御→現代制御→ポスト現代制御、相互の関係、長所と短所
• 運動方程式の例、伝達関数、状態空間表現の相互関係
• なぜ状態空間表現が必要か?...最適レギュレータ問題の解法

この授業の目的：与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる ... いい忘れました...

• 成績の評価方法と評価項目：レポート(30%)、期末テスト(70%)

レポート１回目

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• Q:演習の時間が短かった。１問当たりの時間を１、２分長くしてほしい。
• A:他にも、難しかった、というコメントが多くありました。もう少し皆さんの様子を確認しながら進めます。

• Q:ベクトル表記はしっかりした方がいいと思います。
• A:ある変数がベクトルであることを明示するため、変数の上に→を書くことがありますが、制御工学では、ベクトルであっても→を省略して表記することが慣例です。という説明が抜けており、申し訳ありません。

• Q:少し暗い
• A:部屋の照明が、という意味と思います。照度調整できるようなら次回やります。ダメな場合は、前の方に着席お願いします。

第2回済(2012.11.9) 第２章 システムの応答と安定性†

• レポートについて: 第一回レポート返却→405居室前、第二回レポート提出締切11月14日(水))
• 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性
• 応答の安定性、伝達関数の極、A行列の固有値の関係: 古典制御の結果、現代制御で扱う内容、この授業で扱う内容
• 現代制御では: (2.3)式の導出、状態遷移行列が重要、初期値に依存する項と入力に依存する項
• 応答が安定となる条件: 古典制御...インパルス応答は伝達関数の極すべてに依存する; 現代制御...状態遷移行列の振る舞いはA行列の固有値すべてに依存する;
• 伝達関数の極 = A行列の固有値: よって安定性を議論する上では、初期値応答もインパルス応答も同じ
• 初期値応答に、A行列の固有値、固有ベクトルがどう関係するか
• 固有値、固有ベクトルの復習

レポート２回目

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... 左半分を消してしまいました

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• Q:伝達関数の極と、状態空間表現のA行列の固有値が一致する理由?
• A:伝達関数がC(sI-A)^{-1}Bと表現されることと、その極が|sI-A| = 0の解であること、それがAの固有値の定義に一致することから、言えます。

• Q:(すべての初期状態x(0)に対する)初期値応答がt→∞で0に収束することと、インパルス応答がt→∞で0に収束することが同じ理由?
• A:(i)古典制御より、インパルス応答が伝達関数の極すべてに依存すること(実部が非負の極があれば、インパルス応答は発散する)ことと、(ii)インパルス応答と初期値応答がそれぞれ C e^{At} B, C e^{At} x(0) と書けること、によります。ただし、すべての初期状態x(0)を考慮する場合は、です。一部の初期状態しか考慮しない場合、次のような不都合が生じます：極端な例ですが、インパルス応答が発散するような場合でも、x(0)=0と選べば、初期値応答は0となり発散しません。これは、不安定な固有値を動かさないようにx(0)を選ぶ場合も同様です。...このような、初期状態がどう与えられるのか(安定性を議論する際には、特定の初期状態を考えない)という話が授業では不足していたと思います。申し訳ありません。お詫びして補足します。

第3回済(2012.11.16) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章 極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する)†

1. 解析/設計, F.F./F.B., 状態フィードバック/出力フィードバック
2. 状態フィードバックによって、システムの固有値を変えられる(与えられた行列A,Bに対して、行列Fによって、A-BFの固有値が変えられる)
3. A-BFの固有値をFによって自由に指定できる=可制御性(B=0なら、指定不可。Bが0でないときも、自由に指定できるとは限らない。ただし、複素数の固有値に対してはその複素共役も含めないとダメ。A-BFが実行列なので。)
4. 可制御でない例 ... 状態変数の一部が、状態フィードバックによって変えられない
5. 可制御の例 ... Fによって、特性方程式の係数を任意に指定可能 = 固有値を任意に指定可能 ... 直接法による極配置
6. 可制御性の定義(数式で書くとうるさいが、意味は、A-BFの固有値を自由に変えられること)
7. 可制御性の判定 ... 可制御性行列の正則性

レポート３回目

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• Q: uかnかギリシャ文字なのか判別が難しいときがあるので、英数字はハッキリと書いてほしい
• A: すみません、改善します。今後は授業中にも指摘してもらえると助かります。

第4回済(2012.11.30) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御†

1. 今日の目標:1次系(状態変数がスカラ)の場合に、最適レギュレータ問題を解けるようになる
2. 古典制御(極配置法ほか)では、安定性(制御性能)と制御入力の大きさ(コスト)のトレードオフをとることが困難
3. 評価関数の意味: 最小化が可能(自乗和なので0以上、微分可能)、重みの調整 = トレードオフ
4. 評価関数Jを最小化する状態フィードバックfを求める ... Jをfで微分して0とおく→fに関する二次方程式→閉ループ系が安定となる解を選ぶ
5. 最適レギュレータ問題(最適制御問題)の一般の場合(状態変数がベクトルの場合)
6. その解:代数リカッチ方程式 ... fの2次方程式との関係

レポート４回目

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第5回済(2012.12.7) 第6章つづき〜 §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性†

1. レポート#4の復習: Jの最小化は、閉ループ系の安定性が前提
2. 行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0 (R≧0としないのは、最適解が定まる(解が発散しない)ようにするため)
3. (半)正定行列の定義
4. 対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6) ... 定理※
5. (対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8))
6. 定理※の証明の概要
   定理※の証明
7. リカッチ方程式を解く(数値例により、解が複数あることを確認)
8. そのうち、正定解に対応する状態フィードバックが閉ループ系を安定化する(A-BFの固有値の実部がすべて負になる)
9. 最適制御⇒安定かつJが最小
   証明

レポート５回目

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第6回済(2012.12.14) §9.1状態観測器の構造、§9.3併合系の固有値†

1. 状態観測器の必要性 ... 状態フィードバックから出力フィードバックへ
   • 方法１: u = -F y ... 静的出力フィードバック
   • 方法２:状態観測器?(演習9.1) + 状態フィードバック
   • 方法３:状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
2. 方法１で安定化できない例
3. 方法３((9.3)式が状態観測器であることの証明 (方法２は状態観測器でない)
4. 可観測性
5. 演習9.3' ... L を求める練習
6. 併合系(方法３の制御系)の固有値 = (A - B F の固有値) + (A - L C の固有値)

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第7回済(2012.12.21) 期末テスト, 授業アンケート実施†

• 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
• 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ
• 試験時間: 90分

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