[[授業]] *第1回(2013.11.7) 概要〜第1章 システムを状態方程式で記述する(線形化は割愛) [#c29098fa] &color(blue,orange){この授業の目的:与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる}; - シラバス - 成績の評価方法と評価項目:レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末テスト(64%) #ref(report1.pdf,left,レポート1回目); - 古典制御と現代制御の違い(長所と短所) - 伝達関数と状態空間表現の関係(簡単な運動方程式を例に) #ref(2013.11.08-1.jpg,left,noimg,板書1) #ref(2013.11.08-2.jpg,left,noimg,板書2) #ref(2013.11.08-3.jpg,left,noimg,板書3) #ref(2013.11.08-4.jpg,left,noimg,板書4) -Q:どういうときxがスカラーかベクトルの場合になるのか? -A:マスバネダンパ系の運動方程式は2階の微分方程式でした。この場合、状態空間表現(1階の微分方程式)にするために、状態変数は2行1列のベクトルとなります。同様に、n階の微分方程式を状態空間表現する場合は、状態変数はn行1列のベクトルとなります。状態変数がスカラーになるのは、1階の微分方程式の場合です。 -Q:表記として、スカラーもベクトルも G(s) = Y(s)/U(s) = cb/(s-a) でよいのか? -A:Y(s)/U(s)と書けるのは、U(s)がスカラ(つまり制御入力 u(t)がスカラ)の場合だけです(何かをベクトルでは割れない)。一方、cb/(s-a)と表記できる、つまり (s-a) で割れるのは、A 行列がスカラ(つまり、状態変数がスカラ)の場合だけです。 *第2回(2013.11.15) 第2章 システムの応答と安定性 [#yc3a8800] - 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性 - 古典制御における安定性:インパルス応答がt→∞で0に収束する - ⇔ 現代制御における安定性:任意の初期値に対する応答がt→∞で0に収束する - ⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負 - ⇔ A行列の固有値の実部がすべて負 - 復習:たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベクトル、逆行列 - 状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換 #ref(report2.pdf,left,レポート2回目); #ref(2013.11.15-1.jpg,left,noimg,板書1); #ref(2013.11.15-2.jpg,left,noimg,板書2); #ref(2013.11.15-3.jpg,left,noimg,板書3); #ref(2013.11.15-4.jpg,left,noimg,板書4); #ref(2013.11.15-5.jpg,left,noimg,板書5); #ref(2013.11.15-6.jpg,left,noimg,板書6); -Q:TF, SSRはどういう意味? -A:伝達関数(Transfer Function), 状態空間表現(State Space Representation)です。 -Q:x(0)=vとするの後、Iがvになっているところを聞き逃した -A:Iがvになったのは、I(単位行列)にvをかけたためです。 -Q:黒板の文字が小さい -A:すみません。次回、少し大きめにします。 *第3回(2013.11.22) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章 極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する) [#hd1c0072] -解析から設計へ、出力フィードバック(難)→状態フィードバック(簡単、基本) -閉ループ系のA行列 = A - BF -A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性 -例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可) -可制御性の定義 -可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性) -レポート対策 #ref(report3.pdf,left,レポート3回目); #ref(2013.11.22-1.jpg,left,noimg,板書1); #ref(2013.11.22-2.jpg,left,noimg,板書2); #ref(2013.11.22-3.jpg,left,noimg,板書3); #ref(2013.11.22-4.jpg,left,noimg,板書4); #ref(2013.11.22-5.jpg,left,noimg,板書5); #ref(2013.11.22-6.jpg,left,noimg,板書6); -Q: f1 + f2 = 2、f1 - f2 = 3 がどこから出てきたかよく分からなかった -A: 特性方程式の係数を比較した結果です。ただし、2番目の式は、もともと f1 - f2 - 1 = 2 だったのをこの時点で変形しています。できれば授業中に指摘してもらえると(周りの人も)助かります。 &color(red){&size(25){レポート#1, #2 を返却しています。必ず持ち帰って復習しておくこと。};}; *第4回(2013.11.29) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御 [#q836aefe] - 簡単な例題(a, x, b, u, f がすべてスカラ、b > 0)... 最適制御を直感的に理解できる - (i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、にトレードオフがある - 極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい - 最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる - 最適レギュレータ問題と、その解(リカッチ方程式、P>0) - 最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... f の二次方程式、閉ループが安定となる解を選ぶ - f の二次方程式とリカッチ方程式の関係 - 閉ループ系の安定性と P > 0 の関係 - r を大きくする((ii) を重視する)と、|f| が小さくなる #ref(report4.pdf,left,レポート4回目); #ref(2013.11.29-1.jpg,left,noimg,板書1); #ref(2013.11.29-2.jpg,left,noimg,板書2); #ref(2013.11.29-3.jpg,left,noimg,板書3); #ref(2013.11.29-4.jpg,left,noimg,板書4); #ref(2013.11.29-5.jpg,left,noimg,板書5); // ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ &color(black,red){&size(20){#################### 以下は去年の情報です(随時更新します)###################};}; *第5回&color(green){済};(2012.12.7) 第6章つづき〜 §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性 [#tac781e8] +レポート#4の復習: Jの最小化は、閉ループ系の安定性が前提 +行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0 (R≧0としないのは、最適解が定まる(解が発散しない)ようにするため) +(半)正定行列の定義 +対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6) ... 定理※ +(対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8)) +定理※の証明の概要 #ref(proof3.pdf,left,定理※の証明); +リカッチ方程式を解く(数値例により、解が複数あることを確認) +そのうち、正定解に対応する状態フィードバックが閉ループ系を安定化する(A-BFの固有値の実部がすべて負になる) + 最適制御⇒安定かつJが最小 #ref(proof4.pdf,left,証明) #ref(report5.pdf,left,レポート5回目); #ref(2012.12.07-1.jpg,left,noimg,板書1); #ref(2012.12.07-2.jpg,left,noimg,板書2); #ref(2012.12.07-3.jpg,left,noimg,板書3); #ref(2012.12.07-4.jpg,left,noimg,板書4); #ref(2012.12.07-5.jpg,left,noimg,板書5); #ref(2012.12.07-6.jpg,left,noimg,板書6); #ref(2012.12.07-7.jpg,left,noimg,板書7); *第6回&color(green){済};(2012.12.14) §9.1状態観測器の構造、§9.3併合系の固有値 [#w9413f4c] + 状態観測器の必要性 ... 状態フィードバックから出力フィードバックへ -- 方法1: u = -F y ... 静的出力フィードバック -- 方法2:状態観測器?(演習9.1) + 状態フィードバック -- 方法3:状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック + 方法1で安定化できない例 + 方法3((9.3)式が状態観測器であることの証明 (方法2は状態観測器でない) + 可観測性 + 演習9.3' ... L を求める練習 + 併合系(方法3の制御系)の固有値 = (A - B F の固有値) + (A - L C の固有値) #ref(2012.12.14-1.jpg,left,noimg,板書1); #ref(2012.12.14-2.jpg,left,noimg,板書2); #ref(2012.12.14-3.jpg,left,noimg,板書3); #ref(2012.12.14-4.jpg,left,noimg,板書4); #ref(2012.12.14-5.jpg,left,noimg,板書5); *第7回&color(green){済};(2012.12.21) 期末テスト, 授業アンケート実施 [#lb39741d] - 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する - 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ - 試験時間: 90分