*応用数学2B 2014年度 [#k3f593e8]

** &color(green){[第1回]}; 2014.10.1 [#tdf898a2]

#ref(2014.10.01-1.jpg,left,noimg,板書 #1);
#ref(2014.10.01-2.jpg,left,noimg,板書 #2);
#ref(2014.10.01-3.jpg,left,noimg,板書 #3);
#ref(2014.10.01-4.jpg,left,noimg,板書 #4);

** &color(green){[第2回]}; 2014.10.8 [#l7dd1002]

#ref(2014.10.08-1.jpg,left,noimg,板書 #1);
#ref(2014.10.08-2.jpg,left,noimg,板書 #2);
#ref(2014.10.08-3.jpg,left,noimg,板書 #3);
#ref(2014.10.08-4.jpg,left,noimg,板書 #4);
#ref(2014.10.08-5.jpg,left,noimg,板書 #5);
... すみません。最後の板書の撮影を忘れました。代わりに、思い出して手書きで書いたもの＋おまけ を「板書#5」としてアップします。

-Q:黒板のページ番号とラプラス変換の性質の番号が紛らわしい（共に、まる1、まる2...）ので、ページ番号の表記を[1]や□1のようにした方がよい
-A:おっしゃる通りで、次回からそうします。

-Q:双曲線関数とは何か。双曲線関数が数学以外の分野で使われるのはどのような場合か。
-A:\[ \cosh x := \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \sinh x := \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]などです（「:=」は左辺を右辺で定義する、という意味）。特別な場合としてオイラーの公式を含みます。つまり、
\[ \cosh ix = \cos x, \quad \sinh ix = i \sin x \]
の関係があります（簡単に確認できます）。そもそも指数関数は、微分方程式の解として出てきます。
一階の微分方程式の解には、\[ e^x \] が現れます。
波動方程式など二回の（偏）微分方程式の解には、\[ e^{ix}, e^{-ix} \] が現れます。
梁のたわみ振動の方程式など四階の（偏）微分方程式の解には、\[ e^x, e^{-x}, e^{ix}, e^{-ix} \] が現れます（微分方程式の解が、\[ \lambda^4 = (定数) \] のような代数方程式に帰着され、その解4つに対応するものとして、4つの指数関数が出てきます）。
このように、高階の（偏）微分方程式の解として双曲線関数が出てきますが、2階までの常微分方程式を解く際には出てこないので、今回の授業では省略します。

-Q: 板書の || という記号の意味は？
-A: 斜めの二重線の意味と思いますが、証明の際は「証明終わり」、問題を解いている場合は「これが答え」というような意味で書いています。正式な記号ではありません。
（証明終わりを記載するためには、本当はそのまま「証明終わり」と記載しなくてはならない。）意味がわからない記号が出てきたらすぐ聞いてください。


** &color(green){[第3回]}; 2014.10.22 [#r0e8bf99]

#ref(2014.10.22-1.jpg,left,noimg,板書 #1);
#ref(2014.10.22-2.jpg,left,noimg,板書 #2);
#ref(2014.10.22-3.jpg,left,noimg,板書 #3);
#ref(2014.10.22-4.jpg,left,noimg,板書 #4);
#ref(2014.10.22-5.jpg,left,noimg,板書 #5);
#ref(2014.10.22-6.jpg,left,noimg,板書 #6);

-Q: 制御工学などではラプラス変換すると周波数領域で考えられるようになるのははぜ？
-A: Bode線図やナイキスト線図などですね。どちらも対象とする入出力システムの周波数応答に基づきます。伝達関数の s に iω を代入したものです。つまり、伝達関数を虚軸上だけで評価したものが周波数応答です。システムの挙動を考える際に、虚軸上以外の情報は必要ないのか？不思議な感じがしますが、虚軸上の情報が指定されると、システムの入出力特性は一意に定まってしまうのです。よって、周波数応答に基づいて、フィードバック系の安定解析などを行うことができます。質問の意図とズレた回答になっている場合は、また質問してください。

-Q: （部分分数展開する際の）留数に基づく方法はなぜ教科書にのっていないのか？
-A: わかりません。僕自身は留数に基づく方法が分かり易いと思うので、来週紹介します。

//■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
&color(black,red){&size(20){!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!以下は過去の情報です!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!};};


-Q:たたみこみが何をしたくてやっているのかよく分かりません
-A:詳細は、次次回に説明しますが、像関数の積の逆ラプラス変換をしたくて、たたみこみは存在します。例えば、ある与えられたシステムに、ある入力を加えたときの出力がどうなるか？考える際に、たたみこみが使われます。

\[f(x,y) = x^4 - 2xy^4 + 3x^2 y^2 + 4y^5 \]


** &color(green){[第4回]}; 2012.10.24 [#s9e9c92d]

-Q:微分方程式にlogが含まれていると、教科書の表だけではラプラス変換を使って解けないのでは?
-A:logの積分ができないので、ラプラス変換に限らず、微分方程式を解くことができません。(もし解けるような例を知っていたら教えてください)

-Q:1回の講義で進む範囲を広げてほしい。
-A:シラバスに記載されているスケジュールよりも若干遅れていることが原因と思います。もう少し説明を簡潔にして、シラバスのスケジュールに近づけるようにします。

** &color(green){[第5回]}; 2012.10.31 [#i84a0ea6]

-Q:授業中の解説がだんだん雑になってきた気がする。
-A:このくらいはわかるだろう、という予想が十分ではなく、説明が簡潔すぎたようです。
一方で、説明がくどいと感じる人もいて、そのバランスを取るのに苦労しています。
できれば、授業中に説明が足りない、と指摘してもらえると助かります。私ももう少し皆さんの様子から察するようにします。

** &color(green){[第6回]}; 2012.11.7 [#i1b8ab46]

-Q:過去問の解答例がほしい
-A:これは。。。すみませんが勘弁してください。

-Q:初期値がゼロでない場合、伝達関数
 Y(s)/X(s) = (b_1 s + b_0) / (s^2 + a_1 s + a_0)
は、微分方程式
 y'' + a_1 y' + a_0 y = b_1 x' + b_0 x
に変換できないのか？
-A:s^2 Y(s) の逆ラプラス変換が y'' に対応しなくなるので、できません（s Y(s) など、他の項も同様）。
そもそも伝達関数は、入力と出力の比です。出力における、入力の寄与度、とも言えます。入力以外（つまり、初期値）の寄与度については、無視して考えます。
実際、初期値がゼロならば、システムの出力は、その入力（と伝達関数）によって一意に定まりますが、初期値がゼロでない場合、出力にはシステムの初期値による応答（初期値応答）も含まれるようになり、入力から一意に定まりません。


** &color(green){[第7回]}; 2012.11.14 中間テスト [#wf195d5b]

** &color(green){[第8回]}; 2012.11.21 [#k866b1f5]

- 級数を打ち切る高調波の字数Nを大きくしていくにつれて、フーリエ級数の近似精度が向上していく様子をグラフを書いて確認する(p.85 例題2、Matlabを使う場合)

 x1 = (-1:0.01:0)';
 x2 = (0:0.01:1)';
 x = [x1; x2];
 y1 = 0*x1;
 y2 = 0*x2+1;
 y = [y1; y2];
 m = size(y, 1);
 f = 1/2 * ones(m,1);
 for n=1:30
   bn = (1 - (-1)^n)/(n*pi);
   f = f + bn * sin(n*pi*x);
   plot(x, y, 'b', x, f, 'r');
 end

** &color(green){[第9回]}; 2012.12.5 [#t3153ccd]

-Q:p.85例題2のf(x)を、不連続点における値が1/2となるように変更した場合、f(x)とそのフーリエ級数は(f(x)が不連続点を持つにも関わらず)等しくなるのか?
-A:とても良い質問ですね。質問されなくても、当然、授業中に説明すべき内容でした。すみません。フーリエ級数の収束定理より、f(x)とそのフーリエ級数は等しくなります(nを大きくしていけばいくほど、nまでの和をとった級数が、いくらでもf(x)に近く、ということです)。f(x)は不連続点を持ちますが、そこでの値が、左右両極限の平均値にセットされているので。

-Q:anが図から明らかなら、テストで記述を省いてもいいか？
-A:anが0となることが図から明らかなら、という意味だと思いますが、明らかである理由を説明すればOKです。つまり、与えられた関数が奇関数の場合、「奇関数なので c0 と an は 0 となる」と説明すれば十分です。また、今日僕も授業中にやりましたが、図より平均値c0が明らかな場合は、「図より明らかにc0=...である」と説明すれば十分です。

** &color(green){[第10回]}; 2012.12.19 [#g619671f]

-Q:複素フーリエ級数展開する方が、フーリエ級数展開するよりも一般的に容易と言えるか？
-A:実際にかかる計算の手間は個々の問題に依存し、これを一般的に比較することは不可能なので、今日比較に使った問題7(2)のように与えられた関数がxの多項式であるとして、部分積分の回数を比較してみます。問題7(2)では、xの1次式でした。これを少し一般化して、xのm次式であるとしてみます。すると、an, bn, cn を求めるために、部分積分をそれぞれm回行う必要があります。複素フーリエ級数展開する場合は cn だけを求めればよいので、部分積分はm回行うだけなのに対して、フーリエ級数展開する場合は、an と bn で合計2m回の部分積分を実行する必要があります。各部分積分１回分の手間が同じである保証はありませんが、部分積分の回数は、複素フーリエ級数展開の方が少ないと言えそうです。。。。。授業中に説明すべきでしたね。

** &color(green){[第11回]}; 2013.1.9 [#a5733c9c]

-Q:熱伝導問題の解について、両端の温度が 0 でない場合、sin が cos になったりするのか?
-A:講義の際、答えがあやふやだったため補足します。
結論は、cos になることはありません。両端の温度が 0 でない場合は、その両端の温度を直線でつないだ温度分布が、最終的にいきつく温度分布となります。
その最終的な温度分布からの差分が、フーリエ級数で表現されることになるので、フーリエ級数の部分は、両端の温度が0のときと同じ形(t->∞で0に収束する指数関数と、sin関数を持つ)になります。詳細は、以下のpdfファイルを見てください。
#ref(ex.pdf);
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