応用数学2B 2015年度†
[第1回] 2015.9.30 概要（ラプラス変換とフーリエ変換の関係）、ラプラス変換の定義と例†
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!以下は過去の情報です!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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[第2回] 2014.10.8 ラプラス変換の性質†
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... すみません。最後の板書の撮影を忘れました。代わりに、思い出して手書きで書いたもの＋おまけ を「板書#5」としてアップします。
- Q:黒板のページ番号とラプラス変換の性質の番号が紛らわしい（共に、まる1、まる2...）ので、ページ番号の表記を[1]や□1のようにした方がよい
- A:おっしゃる通りで、次回からそうします。
- Q:双曲線関数とは何か。双曲線関数が数学以外の分野で使われるのはどのような場合か。
- A:\[ \cosh x := \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \sinh x := \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]などです（「:=」は左辺を右辺で定義する、という意味）。特別な場合としてオイラーの公式を含みます。つまり、
\[ \cosh ix = \cos x, \quad \sinh ix = i \sin x \]
の関係があります（簡単に確認できます）。そもそも指数関数は、微分方程式の解として出てきます。
一階の微分方程式の解には、\[ e^x \] が現れます。
波動方程式など二回の（偏）微分方程式の解には、\[ e^{ix}, e^{-ix} \] が現れます。
梁のたわみ振動の方程式など四階の（偏）微分方程式の解には、\[ e^x, e^{-x}, e^{ix}, e^{-ix} \] が現れます（微分方程式の解が、\[ \lambda^4 = (定数) \] のような代数方程式に帰着され、その解4つに対応するものとして、4つの指数関数が出てきます）。
このように、高階の（偏）微分方程式の解として双曲線関数が出てきますが、2階までの常微分方程式を解く際には出てこないので、今回の授業では省略します。
- Q: 板書の || という記号の意味は？
- A: 斜めの二重線の意味と思いますが、証明の際は「証明終わり」、問題を解いている場合は「これが答え」というような意味で書いています。正式な記号ではありません。
（証明終わりを記載するためには、本当はそのまま「証明終わり」と記載しなくてはならない。）意味がわからない記号が出てきたらすぐ聞いてください。
[第3回] 2014.10.22 ラプラス変換の性質（つづき）〜逆ラプラス変換†
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- Q: 制御工学などではラプラス変換すると周波数領域で考えられるようになるのははぜ？
- A: Bode線図やナイキスト線図などですね。どちらも対象とする入出力システムの周波数応答に基づきます。伝達関数の s に iω を代入したものです。つまり、伝達関数を虚軸上だけで評価したものが周波数応答です。システムの挙動を考える際に、虚軸上以外の情報は必要ないのか？不思議な感じがしますが、虚軸上の情報が指定されると、システムの入出力特性は一意に定まってしまうのです。よって、周波数応答に基づいて、フィードバック系の安定解析などを行うことができます。質問の意図とズレた回答になっている場合は、また質問してください。
- Q: （部分分数展開する際の）留数に基づく方法はなぜ教科書にのっていないのか？
- A: わかりません。僕自身は留数に基づく方法が分かり易いと思うので、来週紹介します。
[第4回] 2014.10.29 逆ラプラス変換（つづき：部分分数展開を用いた一般的な方法）〜微分方程式への応用†
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- Q: ラプラス変換を用いた方が簡単に感じたのは初期条件の項が0だったからかもしれません。初期値によっては普通に解いた方が楽？
- A: そうかもしれません。初期条件を与えない場合について、比較してみた結果を添付します。&ref(): File not found: "2014年10月29日14時15分22秒.pdf" at page "授業/応用数学2B_2015";
- Q: 重要な部分に赤や黄色を使ってもらえるとうれしい
- A: 白で書いた後に重ねて書く際、見難くならないように別の色を使っています。重要なところが不明瞭、メリハリがない、という指摘かもしれません。そうなるよう努めます。
- Q: 留数を使って直接ラプラス逆変換を行うものは、いつ勉強するべき事項なのか？
- A: 前回の授業で"難しい方法"として紹介した、複素積分を使った方法のことと思いますが（違っていたら指摘してください）、この授業では扱いません（扱っている時間がない）。勉強するとしたら、複素積分を習いたての今だと思います。
[第5回] 2014.11.5 微分方程式への応用（つづき：初期値の取り扱い）〜たたみこみ†
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- Q:テストに出ないと言ったところをまとめて教えて欲しい
- A:次回、昨年度の試験問題を配るので参考にしてください。基本的に、数値を変えて出題します。
- Q: 実際にたたみこみ積分を用いる例があれば分かりやすくなったと思う
- A: なるほど、問4(2)の x(t) を、g(t) と f(t) のたたみこみで計算してもらえばよかったです。来年度の授業に生かします。有益なコメントをありがとう。
- Q: \[ x'(0) = \alpha\] とおく理由がよくわからなかった。
- A: 定数である、ということをはっきりさせたいのだと思います。
- Q: f(t) による自由振動がなかなかイメージがつかなくて難しかった。
- A: 減衰を入れたらイメージしやすくなると思います。強制振動の項以外は、t→∞で減衰して消えるので。その場合、強制振動は定常応答、自由振動は過渡応答、と言い替えることもできます。
- Q: 問を解くときの待ち時間が短い気がします。
- A: 気を付けます。授業中にも指摘してもらえると助かります。
[第6回] 2014.11.14 線形システムの伝達関数とデルタ関数†
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- Q: 問12の y'(0) = 1 と y'(0-) = 0 があまりよくわからなかった。
- A: 前者は、t = 0 における y'(t) の値です。後者は、t が負の領域において t を 0 に近づけていったときの極限
\[ \lim_{t\rightarrow 0, t < 0} y'(t) \]
のことです。つまり、y'(t) のグラフを描いたとすると、t が負の領域では y'(t) = 0 で、原点は白丸になっていて（値が抜けていて）、t = 0 では 1 に黒丸がある（値がつまっている）、という状況です。
おそらく他にもわからない人がいるので、その場で聞いてもらえると他の人の参考にもなって助かります。
- Q: インパルス応答がよくわからない
- A: 形式的には、デルタ関数が入力されたときの出力のことです。または、システムの伝達関数の逆ラプラス変換です。一方、「よくわからない」というのが「インパルス応答」の名前のことだとすると、私も昔、ステップ関数を入力したときの出力がステップ応答なのに、何故インパルス応答に対応する入力がインパルス関数でないのか？教科書によっては「デルタ関数」のかわりに実際に「インパルス関数」と書いてあったりして、デルタ関数とインパルス関数は同じもの？（同じです）と混乱したことがあります。
逆に「デルタ応答」と呼ぶ流儀もあるようです。名前の由来は歴史的な背景によると思いますが、詳しく知りません。すみません。
- Q: \[ \int_0^t e^{-(t - \tau)} x(\tau) d\tau \] の説明が難しかった。
- A: 確かに説明が少しぐちゃぐちゃしていました。すみません。説明したかったことは次のことです：
- y(t) の値を決めるのに、過去全ての情報が使われる。
- 積分の中身において、\[ e^{-(t - \tau)} \] は、\[ x(\tau) \] に対する重みとして働く。たとえば x(0) と x(t) に対する重みはそれぞれ \[ e^{-t}, \quad 1 \] となり、
x(t) の方が x(0) よりも重視される。y(t)を求めるためには。（x(0) は時間 t の経過とともに忘却される）。ただし、これは H(s) = 1/(s+1) の場合の話。
- 一般の H(s) の場合、x(0) が時間 t の経過とともにどうなるか？ ... これを表しているのがインパルス応答 h(t) である。（時刻 0 でしか値を持たないデルタ関数の影響が、時間の経過とともにどうなるかを表現しているのだから）... この説明は中途半端でした。
H(s) が積分器の場合とか、むだ時間の場合とか、極端な場合を考えると理解が深まると思います。
[第7回] 2014.11.19 中間テスト†
[第8回] 2012.11.21 フーリエ解析の概要、周期2πのフーリエ級数†
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- Q: フーリエ級数展開とフーリエ変換の違いは、周期が有限か無限かだけで、やっていることは同じ？
- A: おおざっぱに言えば、同じです。もう少し正確に言えば、
とても長〜い周期 2l の関数 f(x) が与えられたとき、これに対する複素フーリエ係数 C_n が、f(x) の一周期分だけ取り出した関数（g(x)とします）に対するフーリエ変換 G(u) に対応します。もっと厳密に言うと次のようになります。
\[
\Delta u = \frac{\pi}{l}
\]
とおくと、l が十分大きいのでこれは十分小さくなります。
次に、フーリエ変換の引数 u に対して
\[
n = \frac{u}{\Delta u}
\]
とおきます。（フーリエ変換の引数 u が変わることが、複素フーリエ係数 C_n の n が変わることに対応します）
以上のもとで、
\[
\frac{1}{2\pi} G(u) \Delta u \simeq C_n
\]
が近似的に成り立ちます。
f(x) を具体的な関数の例（たとえば、-1<= x <= 1 の範囲で 1、それ以外で 0 という関数が周期 2l で繰り返す、とか）で考えるとイメージし易いかもしれません。
複素フーリエ級数が、周期を∞にもっていくとフーリエ変換の反転公式になる、という証明にも関連します。
- Q: 最終成績の評価方法について
- A: 最終成績は、中間試験と期末試験の平均値です。授業の最初の方で伝えたつもりでしたが、伝えていなかったかもしれません。次回、口頭でアナウンスします。
- Q: 中間試験結果の分布を知りたい
- A: &ref(): File not found: "hist.jpg" at page "授業/応用数学2B_2015";
[第9回] 2014.12.10 一般の周期のフーリエ級数†
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...授業後、2箇所の誤りを指摘してもらいました。申し訳ありません。
- Q:anまたはbnが0となることが図から明らかな場合、計算せずにan=0などと書いて良いか？
- A:良いです。
[第10回] 2014.12.24 複素フーリエ級数†
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- Q: 期末テストの過去問を配るか？
- A: 配ります。
- Q: 昨年度の電子制御工学実験のレポート課題で既知の内容かもしれない
- A: ご指摘ありがとうございます。他科目との重複については以前から聞いていましたが、レポートの内容まで見たことはありませんでした。取り寄せてみます。
[第11回] 2015.1.7 フーリエ級数の偏微分方程式への応用†
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- Q:ただk,l,f(x)をu(x,t)に代入するだけでなく、そこまでの過程も知りたい
- A:もっともな指摘です。今日は説明する時間がなくすみません。解の導出の概要がわかれば、あとは教科書の説明をフォローできるのではないかと思います。以下のpdfファイルは両端の温度が0でない場合への拡張を扱っていますが、温度0の場合についても参考になる部分があると思います。
両端の温度が0でない場合について、一昨年度のQAを以下に記載します（pdfファイルは一部誤りの修正版）：
[第12回] 2015.1.14 フーリエ変換と積分定理†
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[第13回] 2015.1.21 フーリエ変換の性質†
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- Q:基本的な関数のフーリエ変換が5つ出て来たが、これらは実用的な場面が多くあるのか？
- A:5つのうち、(iii)は次回、熱伝導方程式の解を構成する際に出てきます。熱伝導問題に限定して考えると、フーリエ変換される関数f(x)は棒の初期温度分布に対応します。すると質問は、初期温度分布としてどのようなものが実用上多くありそうか、ということになります。たとえば棒のある一部の区間だけ100度で外が0度のような初期状態がステップ状の関数Paに対応します。このような単純な状況は非現実的であり、実用的でない、と言えなくもありませんが、複雑な現象を検討する前にまず単純な状況を検討するという進め方はよくあります。教科書p.110の練習問題2の2には、（ダクト中を伝播する音波など）一次元の波動方程式が載っています。この場合、フーリエ変換される対象は、初期圧力分布です（ただし二つの進行方向に対応して二つの関数があります）。やはりこの場合も、ステップ状の初期圧力分布は、他の複雑な現象を考える上で基礎を与えるため、教科書に良く載っています。
答えになっていない場合は、また聞いてください。
[第14回] 2015.2.4 偏微分方程式への応用†
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- Q:中間試験と期末試験の再試は別々に行うのか？
- A:別々に行います（それぞれの難易度は本試験と同じです）
- Q:試験で u(x,t) を求めた後、初期条件を満たすことを示す必要はあるか？
- A:ありません。
- Q:偏微分方程式が変わったら、解も変わるのか？
- A:変わります。たとえば正の実数 k で一般化した偏微分方程式
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
に対する解は
\[ u(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi k t}} \phi(x) \ast e^{-\frac{x^2}{4kt}} \]
となります。
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