授業/動的システムの解析と制御 の履歴(No.7)

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• 授業/動的システムの解析と制御 へ行く。
  • 1 (2012-11-02 (金) 10:37:28)
  • 2 (2012-11-02 (金) 10:51:02)
  • 3 (2012-11-05 (月) 17:16:31)
  • 4 (2012-11-13 (火) 12:54:21)
  • 5 (2012-11-16 (金) 07:54:04)
  • 6 (2012-11-16 (金) 11:24:03)
  • 7 (2012-11-19 (月) 11:32:47)
  • 8 (2012-12-02 (日) 12:38:09)
  • 9 (2012-12-07 (金) 12:33:57)
  • 10 (2012-12-11 (火) 10:22:00)
  • 11 (2012-12-19 (水) 13:15:02)

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授業

第1回(2012.11.2) 概要〜第１章　システムを状態方程式で記述する（線形化は割愛）†

• 古典制御→現代制御→ポスト現代制御、相互の関係、長所と短所
• 運動方程式の例、伝達関数、状態空間表現の相互関係
• なぜ状態空間表現が必要か?...最適レギュレータ問題の解法

この授業の目的：与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる ... いい忘れました...

• 成績の評価方法と評価項目：レポート(30%)、期末テスト(70%)

• Q:演習の時間が短かった。１問当たりの時間を１、２分長くしてほしい。
• A:他にも、難しかった、というコメントが多くありました。もう少し皆さんの様子を確認しながら進めます。

• Q:ベクトル表記はしっかりした方がいいと思います。
• A:ある変数がベクトルであることを明示するため、変数の上に→を書くことがありますが、制御工学では、ベクトルであっても→を省略して表記することが慣例です。という説明が抜けており、申し訳ありません。

• Q:少し暗い
• A:部屋の照明が、という意味と思います。照度調整できるようなら次回やります。ダメな場合は、前の方に着席お願いします。

第2回(2012.11.9) 第２章 システムの応答と安定性†

• レポートについて: 第一回レポート返却→405居室前、第二回レポート提出締切11月14日(水))
• 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性
• 応答の安定性、伝達関数の極、A行列の固有値の関係: 古典制御の結果、現代制御で扱う内容、この授業で扱う内容
• 現代制御では: (2.3)式の導出、状態遷移行列が重要、初期値に依存する項と入力に依存する項
• 応答が安定となる条件: 古典制御...インパルス応答は伝達関数の極すべてに依存する; 現代制御...状態遷移行列の振る舞いはA行列の固有値すべてに依存する;
• 伝達関数の極 = A行列の固有値: よって安定性を議論する上では、初期値応答もインパルス応答も同じ
• 初期値応答に、A行列の固有値、固有ベクトルがどう関係するか
• 固有値、固有ベクトルの復習

... 左半分を消してしまいました

• Q:伝達関数の極と、状態空間表現のA行列の固有値が一致する理由?
• A:伝達関数がC(sI-A)^{-1}Bと表現されることと、その極が|sI-A| = 0の解であること、それがAの固有値の定義に一致することから、言えます。

• Q:(すべての初期状態x(0)に対する)初期値応答がt→∞で0に収束することと、インパルス応答がt→∞で0に収束することが同じ理由?
• A:(i)古典制御より、インパルス応答が伝達関数の極すべてに依存すること(実部が非負の極があれば、インパルス応答は発散する)ことと、(ii)インパルス応答と初期値応答がそれぞれ C e^{At} B, C e^{At} x(0) と書けること、によります。ただし、すべての初期状態x(0)を考慮する場合は、です。一部の初期状態しか考慮しない場合、次のような不都合が生じます：極端な例ですが、インパルス応答が発散するような場合でも、x(0)=0と選べば、初期値応答は0となり発散しません。これは、不安定な固有値を動かさないようにx(0)を選ぶ場合も同様です。...このような、初期状態がどう与えられるのか(安定性を議論する際には、特定の初期状態を考えない)という話が授業では不足していたと思います。申し訳ありません。お詫びして補足します。

第3回(2012.11.16) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章 極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する)†

1. 解析/設計, F.F./F.B., 状態フィードバック/出力フィードバック
2. 状態フィードバックによって、システムの固有値を変えられる(与えられた行列A,Bに対して、行列Fによって、A-BFの固有値が変えられる)
3. A-BFの固有値をFによって自由に指定できる=可制御性(B=0なら、指定不可。Bが0でないときも、自由に指定できるとは限らない。ただし、複素数の固有値に対してはその複素共役も含めないとダメ。A-BFが実行列なので。)
4. 可制御でない例 ... 状態変数の一部が、状態フィードバックによって変えられない
5. 可制御の例 ... Fによって、特性方程式の係数を任意に指定可能 = 固有値を任意に指定可能 ... 直接法による極配置
6. 可制御性の定義(数式で書くとうるさいが、意味は、A-BFの固有値を自由に変えられること)
7. 可制御性の判定 ... 可制御性行列の正則性

• Q: uかnかギリシャ文字なのか判別が難しいときがあるので、英数字はハッキリと書いてほしい
• A: すみません、改善します。今後は授業中にも指摘してもらえると助かります。

■■■■■■■■■■■■■注意：以下は過去の情報です。■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

第7回(2011.5.23) 5.2 可制御正準系に変換する, 5.3 可制御正準系による極配置†

• 可制御ならば、状態フィードバックにより任意の極配置が可能

1. 可制御正準形の定義(p.66 5.2節)
2. 可制御ならば、可制御正準形に相似変換できる

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   • 可制御正準形を求める方法１：正則行列Tを求めて、相似変換する(演習5.7, 5.8)
3. 可制御正準形と特性方程式(p.68 演習5.6)
   • 可制御正準形を求める方法２：特性多項式の係数を使って直接求める(演習5.7, 5.8)
4. 可制御正準形による極配置(p.74 5.3節)
   • 演習5.9, 演習5.13, 演習5.14

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第8回(2011.5.30) 可制御正準系による極配置（つづき）、5.4 アッカーマン法による極配置†

1. 可制御正準形による極配置（つづき）... 演習5.13, 5.14
2. アッカーマン法による極配置。演習5.16, 5.18

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3. 行列のランク。演習3.15

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第9回(2011.6.6) 中間テスト†

• 物理系→運動方程式→状態空間表現→極を求めて安定性判別
• 可制御性の判別
• 状態フィードバックで極配置
• 教科書・ノートを持ち込み可、Matlab使用可

第10回(2011.6.13) §6.1 評価関数と最適制御†

• 答案返却

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• 授業の目的の確認
• 極配置から最適制御へ ... なぜ最適制御が必要か？１次系の場合
• 高次系への拡張 (6.1節の内容)、演習6.3と6.4

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レポート#3 板書2↑参照

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第11回(2011.6.20) §6.2 重み行列と正定・半正定†

1. 二次形式の正定性と対称行列の正定性
2. 二次形式の正定性判別(演習6.5)
3. 対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6) ... 定理※
4. 対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8)
5. 定理※の証明
   定理※の証明

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第12回(2011.6.27) §6.3 最適制御系の安定性†

• 最適制御⇒安定かつJが最小
  証明

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7月4日は休講とします†

第13回(2011.7.11) §8.1 内部モデル原理に基づくサーボ系の構造とは†

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レポート#4 : 昨年度の期末テストの問1 締切り7月19日(火)17:00

1. サーボ系の必要性
2. 内部モデル原理
3. 演習8.1, 8.2
   1. Matab,Simulinkでシミュレーション

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   2. 手計算で確認
4. (演習8.3 ... 外乱除去も考える場合、演習8.1, 8.2と数値を変えただけ)

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第14回(2011.7.20 3限 実習室２) §8.2 サーボ系を設計する, §8.3 サーボ系設計条件†

• 復習: 定常偏差を0とするには？

1. 8.2節:サーボ系の設計法
   1. サーボ系の設計法 = 制御対象を内部モデルで拡大してコントローラを設計
   2. 演習8.4 直接法を使う場合 (最適制御も使える）
2. 8.3節:サーボ系の設計条件(ステップ信号の場合）
   1. 1/sを追加すれば必ずサーボ系を設計できるか？
   2. 制御対象が原点に零点を持つ場合、内部信号が発散する（内部不安定）

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レポート#5 : 昨年度の期末テストの問3（板書3↑参照) 締切り7月29日(金)17:00

第15回(2011.7.25) §9.1状態観測器の構造、§9.3併合系の固有値†

1. 状態観測器の必要性 ... 状態フィードバックから出力フィードバックへ
   • 方法１: u = -F y ... 静的出力フィードバック
   • 方法２:状態観測器?(演習9.1) + 状態フィードバック
   • 方法３:状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
2. 方法１で安定化できない例
3. 方法３((9.3)式が状態観測器であることの証明 (方法２は状態観測器でない)
4. 可観測性
5. 演習9.3' ... L を求める練習
6. 併合系(方法３の制御系)の固有値 = (A - B F の固有値) + (A - L C の固有値)

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第16回(2011.8.1) 期末テスト, 授業アンケート実施†

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関連リンク†

• 授業ホームページ（木村研究室）