授業/動的システムの解析と制御2013 の履歴(No.15) - Kobayashi Laboratory Homepage

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第1回(2013.11.7) 概要～第１章　システムを状態方程式で記述する（線形化は割愛）†

この授業の目的：与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる

シラバス
成績の評価方法と評価項目：レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末テスト(64%)
レポート１回目
古典制御と現代制御の違い（長所と短所）
伝達関数と状態空間表現の関係（簡単な運動方程式を例に）

Q:どういうときxがスカラーかベクトルの場合になるのか？
A:マスバネダンパ系の運動方程式は２階の微分方程式でした。この場合、状態空間表現（１階の微分方程式）にするために、状態変数は２行１列のベクトルとなります。同様に、n階の微分方程式を状態空間表現する場合は、状態変数はn行1列のベクトルとなります。状態変数がスカラーになるのは、1階の微分方程式の場合です。

Q:表記として、スカラーもベクトルも G(s) = Y(s)/U(s) = cb/(s-a) でよいのか？
A:Y(s)/U(s)と書けるのは、U(s)がスカラ（つまり制御入力 u(t)がスカラ）の場合だけです（何かをベクトルでは割れない）。一方、cb/(s-a)と表記できる、つまり (s-a) で割れるのは、A 行列がスカラ（つまり、状態変数がスカラ）の場合だけです。

第2回(2013.11.15) 第２章システムの応答と安定性†

解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性
古典制御における安定性：インパルス応答がt→∞で0に収束する
⇔ 現代制御における安定性：任意の初期値に対する応答がt→∞で0に収束する
⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
復習：たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベクトル、逆行列
状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換

レポート２回目

Q:TF, SSRはどういう意味?
A:伝達関数(Transfer Function), 状態空間表現(State Space Representation)です。
Q:x(0)=vとするの後、Iがvになっているところを聞き逃した
A:Iがvになったのは、I(単位行列)にvをかけたためです。
Q:黒板の文字が小さい
A:すみません。次回、少し大きめにします。

第3回(2013.11.22) 第3章可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する)†

解析から設計へ、出力フィードバック（難)→状態フィードバック（簡単、基本）
閉ループ系のA行列 = A - BF
A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)
可制御性の定義
可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)
レポート対策

レポート３回目

Q: f1 + f2 = 2、f1 - f2 = 3 がどこから出てきたかよく分からなかった
A: 特性方程式の係数を比較した結果です。ただし、2番目の式は、もともと f1 - f2 - 1 = 2 だったのをこの時点で変形しています。できれば授業中に指摘してもらえると（周りの人も）助かります。

レポート#1, #2 を返却しています。必ず持ち帰って復習しておくこと。

第4回(2013.11.29) 第6章最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御†

簡単な例題（a, x, b, u, f がすべてスカラ、b > 0）... 最適制御を直感的に理解できる
(i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、にトレードオフがある
極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい
最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる
最適レギュレータ問題と、その解（リカッチ方程式、P>0）
最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... f の二次方程式、閉ループが安定となる解を選ぶ
f の二次方程式とリカッチ方程式の関係
閉ループ系の安定性と P > 0 の関係
r を大きくする（(ii) を重視する）と、|f| が小さくなる

レポート４回目

第5回(2013.12.6) 第6章つづき～ §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性†

レポート#4復習：「～のとき」「～ならば」「等価」「必要十分」「⇒」「⇔」
最適制御⇒安定かつJが最小
証明
行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0
(半)正定行列の定義
対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6)
対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8)
proof3.pdf
最適レギュレータの設計(演習6.3,6.4)：リカッチ方程式の解P、P > 0 ⇒ 対応する F が閉ループ系を安定化

レポート５回目

第6回(2013.12.13) §9.1状態観測器の構造†

状態観測器の必要性：直接利用できない状態の推定
状態観測器の定義：t→∞で誤差なく x(t) を推定できる
二つの疑問：(i)xを推定値で置き換えた制御系が安定となるか？; (ii)Jの最小化に与える影響は？
方法１：状態観測器なし、x を単純に y におきかえる。u = -F y ... 静的出力フィードバック
方法２：状態観測器?(演習9.1) + 状態フィードバック
方法３：状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
演習9.3'：方法１で安定化できない例
方法３の状態観測器を作る（（9.3)式の導出、方法２は状態観測器にならない）
可観測性（可制御性との関係）
演習9.3'：A - L C を安定（固有値の実部がすべて負）とする L の求め方

レポート６回目

第7回(2013.12.20) §9.3併合系の固有値†

方法３で安定化できる理由：閉ループ系の固有値 = A - BF と A - LC の固有値
方法３が評価関数Jの最小値に与える影響？
復習：静的/動的、状態/出力フィードバック

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第8回(2013.12.27) 期末テスト, 授業アンケート実施†

試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ
試験時間: 90分

前半・後半を含めた最終成績を掲示しています。レポート返却場所にて。確認してください。