授業/動的システムの解析と制御2013 の履歴の現在との差分(No.4)

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[[授業]]

*第1回(2013.11.7) 概要～第１章　システムを状態方程式で記述する（線形化は割愛） [#c29098fa]
&color(blue,orange){この授業の目的：与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる};
- シラバス
- 成績の評価方法と評価項目：レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末テスト(64%)
#ref(report1.pdf,left,レポート１回目);
- 古典制御と現代制御の違い（長所と短所）
- 伝達関数と状態空間表現の関係（簡単な運動方程式を例に）

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#ref(2013.11.08-3.jpg,left,noimg,板書3)
#ref(2013.11.08-4.jpg,left,noimg,板書4)

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&color(black,red){&size(20){#################### 以下は去年の情報です（随時更新します）###################};};
-Q:どういうときxがスカラーかベクトルの場合になるのか？
-A:マスバネダンパ系の運動方程式は２階の微分方程式でした。この場合、状態空間表現（１階の微分方程式）にするために、状態変数は２行１列のベクトルとなります。同様に、n階の微分方程式を状態空間表現する場合は、状態変数はn行1列のベクトルとなります。状態変数がスカラーになるのは、1階の微分方程式の場合です。

-Q:表記として、スカラーもベクトルも G(s) = Y(s)/U(s) = cb/(s-a) でよいのか？
-A:Y(s)/U(s)と書けるのは、U(s)がスカラ（つまり制御入力 u(t)がスカラ）の場合だけです（何かをベクトルでは割れない）。一方、cb/(s-a)と表記できる、つまり (s-a) で割れるのは、A 行列がスカラ（つまり、状態変数がスカラ）の場合だけです。

*第2回(2013.11.15) 第２章 システムの応答と安定性 [#yc3a8800]

#ref(2012.11.02-1.jpg,left,noimg,板書1)
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#ref(2012.11.02-3.jpg,left,noimg,板書3)
#ref(2012.11.02-4.jpg,left,noimg,板書4)

-Q:演習の時間が短かった。１問当たりの時間を１、２分長くしてほしい。
-A:他にも、難しかった、というコメントが多くありました。もう少し皆さんの様子を確認しながら進めます。

-Q:ベクトル表記はしっかりした方がいいと思います。
-A:ある変数がベクトルであることを明示するため、変数の上に→を書くことがありますが、制御工学では、ベクトルであっても→を省略して表記することが慣例です。という説明が抜けており、申し訳ありません。

-Q:少し暗い
-A:部屋の照明が、という意味と思います。照度調整できるようなら次回やります。ダメな場合は、前の方に着席お願いします。


*第2回&color(green){済};(2012.11.9) 第２章 システムの応答と安定性 [#yc3a8800]

- レポートについて: 第一回レポート返却→405居室前、第二回レポート提出締切11月14日(水))
- 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性
- 応答の安定性、伝達関数の極、A行列の固有値の関係: 古典制御の結果、現代制御で扱う内容、この授業で扱う内容
- 現代制御では: (2.3)式の導出、状態遷移行列が重要、初期値に依存する項と入力に依存する項
- 応答が安定となる条件: 古典制御...インパルス応答は伝達関数の極すべてに依存する; 現代制御...状態遷移行列の振る舞いはA行列の固有値すべてに依存する; 
- 伝達関数の極 = A行列の固有値: よって安定性を議論する上では、初期値応答もインパルス応答も同じ
- 初期値応答に、A行列の固有値、固有ベクトルがどう関係するか
- 固有値、固有ベクトルの復習
- 古典制御における安定性：インパルス応答がt→∞で0に収束する
- ⇔ 現代制御における安定性：任意の初期値に対する応答がt→∞で0に収束する
- ⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
- ⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
- 復習：たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベクトル、逆行列
- 状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換

#ref(report2.pdf,left,レポート２回目);

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... 左半分を消してしまいました
#ref(2012.11.09-5.jpg,left,noimg,板書5);
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-Q:伝達関数の極と、状態空間表現のA行列の固有値が一致する理由?
-A:伝達関数がC(sI-A)^{-1}Bと表現されることと、その極が|sI-A| = 0の解であること、それがAの固有値の定義に一致することから、言えます。
-Q:TF, SSRはどういう意味?
-A:伝達関数(Transfer Function), 状態空間表現(State Space Representation)です。
-Q:x(0)=vとするの後、Iがvになっているところを聞き逃した
-A:Iがvになったのは、I(単位行列)にvをかけたためです。
-Q:黒板の文字が小さい
-A:すみません。次回、少し大きめにします。

-Q:(すべての初期状態x(0)に対する)初期値応答がt→∞で0に収束することと、インパルス応答がt→∞で0に収束することが同じ理由?
-A:(i)古典制御より、インパルス応答が伝達関数の極すべてに依存すること(実部が非負の極があれば、インパルス応答は発散する)ことと、(ii)インパルス応答と初期値応答がそれぞれ C e^{At} B, C e^{At} x(0) と書けること、によります。ただし、すべての初期状態x(0)を考慮する場合は、です。一部の初期状態しか考慮しない場合、次のような不都合が生じます：極端な例ですが、インパルス応答が発散するような場合でも、x(0)=0と選べば、初期値応答は0となり発散しません。これは、不安定な固有値を動かさないようにx(0)を選ぶ場合も同様です。...このような、初期状態がどう与えられるのか(安定性を議論する際には、特定の初期状態を考えない)という話が授業では不足していたと思います。申し訳ありません。お詫びして補足します。
*第3回(2013.11.22) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章 極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する) [#hd1c0072]

-解析から設計へ、出力フィードバック（難)→状態フィードバック（簡単、基本）
-閉ループ系のA行列 = A - BF
-A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
-例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)
-可制御性の定義
-可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)
-レポート対策

*第3回&color(green){済};(2012.11.16) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章 極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する) [#hd1c0072]

+解析/設計, F.F./F.B., 状態フィードバック/出力フィードバック
+状態フィードバックによって、システムの固有値を変えられる(与えられた行列A,Bに対して、行列Fによって、A-BFの固有値が変えられる)
+A-BFの固有値をFによって自由に指定できる=可制御性(B=0なら、指定不可。Bが0でないときも、自由に指定できるとは限らない。ただし、複素数の固有値に対してはその複素共役も含めないとダメ。A-BFが実行列なので。)
+可制御でない例 ... 状態変数の一部が、状態フィードバックによって変えられない
+可制御の例 ... Fによって、特性方程式の係数を任意に指定可能 = 固有値を任意に指定可能 ... 直接法による極配置
+可制御性の定義(数式で書くとうるさいが、意味は、A-BFの固有値を自由に変えられること)
+可制御性の判定 ... 可制御性行列の正則性

#ref(report3.pdf,left,レポート３回目);

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-Q: uかnかギリシャ文字なのか判別が難しいときがあるので、英数字はハッキリと書いてほしい
-A: すみません、改善します。今後は授業中にも指摘してもらえると助かります。
-Q: f1 + f2 = 2、f1 - f2 = 3 がどこから出てきたかよく分からなかった
-A: 特性方程式の係数を比較した結果です。ただし、2番目の式は、もともと f1 - f2 - 1 = 2 だったのをこの時点で変形しています。できれば授業中に指摘してもらえると（周りの人も）助かります。

&color(red){&size(25){レポート#1, #2 を返却しています。必ず持ち帰って復習しておくこと。};};

*第4回&color(green){済};(2012.11.30) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御 [#q836aefe]
+今日の目標:1次系(状態変数がスカラ)の場合に、最適レギュレータ問題を解けるようになる 
+古典制御(極配置法ほか)では、安定性(制御性能)と制御入力の大きさ(コスト)のトレードオフをとることが困難
+評価関数の意味: 最小化が可能(自乗和なので0以上、微分可能)、重みの調整 = トレードオフ
+評価関数Jを最小化する状態フィードバックfを求める ... Jをfで微分して0とおく→fに関する二次方程式→閉ループ系が安定となる解を選ぶ
+最適レギュレータ問題(最適制御問題)の一般の場合(状態変数がベクトルの場合)
+その解:代数リカッチ方程式 ... fの2次方程式との関係
*第4回(2013.11.29) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御 [#q836aefe]
- 簡単な例題（a, x, b, u, f がすべてスカラ、b > 0）... 最適制御を直感的に理解できる
- (i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、にトレードオフがある
- 極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい
- 最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる
- 最適レギュレータ問題と、その解（リカッチ方程式、P>0）
- 最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... f の二次方程式、閉ループが安定となる解を選ぶ
- f の二次方程式とリカッチ方程式の関係
- 閉ループ系の安定性と P > 0 の関係
- r を大きくする（(ii) を重視する）と、|f| が小さくなる

#ref(report4.pdf,left,レポート４回目);

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*第5回&color(green){済};(2012.12.7) 第6章つづき～ §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性 [#tac781e8]
*第5回(2013.12.6) 第6章つづき～ §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性 [#tac781e8]

+レポート#4の復習: Jの最小化は、閉ループ系の安定性が前提
+行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0 (R≧0としないのは、最適解が定まる(解が発散しない)ようにするため)
+(半)正定行列の定義
+対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6) ... 定理※
+(対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8))
+定理※の証明の概要
#ref(proof3.pdf,left,定理※の証明);
+リカッチ方程式を解く(数値例により、解が複数あることを確認)
+そのうち、正定解に対応する状態フィードバックが閉ループ系を安定化する(A-BFの固有値の実部がすべて負になる)
+ 最適制御⇒安定かつJが最小
- レポート#4復習：「～のとき」「～ならば」「等価」「必要十分」「⇒」「⇔」
- 最適制御⇒安定かつJが最小
#ref(proof4.pdf,left,証明)
- 行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0
- (半)正定行列の定義
- 対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6)
- 対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8)
#ref(proof3.pdf);
- 最適レギュレータの設計(演習6.3,6.4)：リカッチ方程式の解P、P > 0 ⇒ 対応する F が閉ループ系を安定化

#ref(report5.pdf,left,レポート５回目);

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*第6回&color(green){済};(2012.12.14) §9.1状態観測器の構造、§9.3併合系の固有値 [#w9413f4c]
+ 状態観測器の必要性 ... 状態フィードバックから出力フィードバックへ
-- 方法１: u = -F y ... 静的出力フィードバック
-- 方法２:状態観測器?(演習9.1) + 状態フィードバック
-- 方法３:状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
+ 方法１で安定化できない例
+ 方法３((9.3)式が状態観測器であることの証明 (方法２は状態観測器でない)
+ 可観測性
+ 演習9.3' ... L を求める練習
+ 併合系(方法３の制御系)の固有値 = (A - B F の固有値) + (A - L C の固有値)
*第6回(2013.12.13) §9.1状態観測器の構造 [#od329497]
- 状態観測器の必要性：直接利用できない状態の推定
- 状態観測器の定義：t→∞で誤差なく x(t) を推定できる
- 二つの疑問：(i)xを推定値で置き換えた制御系が安定となるか？; (ii)Jの最小化に与える影響は？
- 方法１：状態観測器なし、x を単純に y におきかえる。u = -F y ... 静的出力フィードバック
- 方法２：状態観測器?(演習9.1) + 状態フィードバック
- 方法３：状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
- 演習9.3'：方法１で安定化できない例
- 方法３の状態観測器を作る（（9.3)式の導出、方法２は状態観測器にならない）
- 可観測性（可制御性との関係）
- 演習9.3'：A - L C を安定（固有値の実部がすべて負）とする L の求め方

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#ref(report6.pdf,left,レポート６回目);

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*第7回&color(green){済};(2012.12.21) 期末テスト, 授業アンケート実施 [#lb39741d]
*第7回(2013.12.20) §9.3併合系の固有値 [#w9413f4c]
- 方法３で安定化できる理由：閉ループ系の固有値 = A - BF と A - LC の固有値
- 方法３が評価関数Jの最小値に与える影響？
- 復習：静的/動的、状態/出力フィードバック

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*第8回(2013.12.27) 期末テスト, 授業アンケート実施 [#lb39741d]
- 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
- 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ
- 試験時間: 90分

&color(red){&size(25){前半・後半を含めた最終成績を掲示しています。レポート返却場所にて。確認してください。};};