授業
第1回(2013.11.7) 概要〜第１章 システムを状態方程式で記述する（線形化は割愛）†
この授業の目的：与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる
- シラバス
- 成績の評価方法と評価項目：レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末テスト(64%)
- 古典制御と現代制御の違い（長所と短所）
- 伝達関数と状態空間表現の関係（簡単な運動方程式を例に）
- Q:どういうときxがスカラーかベクトルの場合になるのか？
- A:マスバネダンパ系の運動方程式は２階の微分方程式でした。この場合、状態空間表現（１階の微分方程式）にするために、状態変数は２行１列のベクトルとなります。同様に、n階の微分方程式を状態空間表現する場合は、状態変数はn行1列のベクトルとなります。状態変数がスカラーになるのは、1階の微分方程式の場合です。
- Q:表記として、スカラーもベクトルも G(s) = Y(s)/U(s) = cb/(s-a) でよいのか？
- A:Y(s)/U(s)と書けるのは、U(s)がスカラ（つまり制御入力 u(t)がスカラ）の場合だけです（何かをベクトルでは割れない）。一方、cb/(s-a)と表記できる、つまり (s-a) で割れるのは、A 行列がスカラ（つまり、状態変数がスカラ）の場合だけです。
第2回(2013.11.15) 第２章 システムの応答と安定性†
- 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性
- 古典制御における安定性：インパルス応答がt→∞で0に収束する
- ⇔ 現代制御における安定性：任意の初期値に対する応答がt→∞で0に収束する
- ⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
- ⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
- 復習：たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベクトル、逆行列
- 状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換
- Q:TF, SSRはどういう意味?
- A:伝達関数(Transfer Function), 状態空間表現(State Space Representation)です。
- Q:x(0)=vとするの後、Iがvになっているところを聞き逃した
- A:Iがvになったのは、I(単位行列)にvをかけたためです。
- Q:黒板の文字が小さい
- A:すみません。次回、少し大きめにします。
第3回(2013.11.22) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章 極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する)†
- 解析から設計へ、出力フィードバック（難)→状態フィードバック（簡単、基本）
- 閉ループ系のA行列 = A - BF
- A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
- 例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)
- 可制御性の定義
- 可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)
- レポート対策
- Q: f1 + f2 = 2、f1 - f2 = 3 がどこから出てきたかよく分からなかった
- A: 特性方程式の係数を比較した結果です。ただし、2番目の式は、もともと f1 - f2 - 1 = 2 だったのをこの時点で変形しています。できれば授業中に指摘してもらえると（周りの人も）助かります。
レポート#1, #2 を返却しています。必ず持ち帰って復習しておくこと。
#################### 以下は去年の情報です（随時更新します）###################
第4回済(2012.11.30) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御†
- 今日の目標:1次系(状態変数がスカラ)の場合に、最適レギュレータ問題を解けるようになる
- 古典制御(極配置法ほか)では、安定性(制御性能)と制御入力の大きさ(コスト)のトレードオフをとることが困難
- 評価関数の意味: 最小化が可能(自乗和なので0以上、微分可能)、重みの調整 = トレードオフ
- 評価関数Jを最小化する状態フィードバックfを求める ... Jをfで微分して0とおく→fに関する二次方程式→閉ループ系が安定となる解を選ぶ
- 最適レギュレータ問題(最適制御問題)の一般の場合(状態変数がベクトルの場合)
- その解:代数リカッチ方程式 ... fの2次方程式との関係
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第5回済(2012.12.7) 第6章つづき〜 §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性†
- レポート#4の復習: Jの最小化は、閉ループ系の安定性が前提
- 行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0 (R≧0としないのは、最適解が定まる(解が発散しない)ようにするため)
- (半)正定行列の定義
- 対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6) ... 定理※
- (対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8))
- 定理※の証明の概要
- リカッチ方程式を解く(数値例により、解が複数あることを確認)
- そのうち、正定解に対応する状態フィードバックが閉ループ系を安定化する(A-BFの固有値の実部がすべて負になる)
- 最適制御⇒安定かつJが最小
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第6回済(2012.12.14) §9.1状態観測器の構造、§9.3併合系の固有値†
- 状態観測器の必要性 ... 状態フィードバックから出力フィードバックへ
- 方法１: u = -F y ... 静的出力フィードバック
- 方法２:状態観測器?(演習9.1) + 状態フィードバック
- 方法３:状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
- 方法１で安定化できない例
- 方法３((9.3)式が状態観測器であることの証明 (方法２は状態観測器でない)
- 可観測性
- 演習9.3' ... L を求める練習
- 併合系(方法３の制御系)の固有値 = (A - B F の固有値) + (A - L C の固有値)
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第7回済(2012.12.21) 期末テスト, 授業アンケート実施†
- 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
- 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ
- 試験時間: 90分
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