[[授業]] 担当:小林、TA:M1櫻井 *第1回(2014.11.7) 概要〜第1章 システムを状態方程式で記述する [#c8a955a1] &color(blue,orange){この授業の目的:与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる}; - シラバス &ref(syllabus.pdf); - 成績の評価方法と評価項目:レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末テスト(64%) //#ref(report1.pdf,left,レポート1回目); -教科書:[[「演習で学ぶ現代制御理論」(森 泰親 著、森北出版)>https://www.morikita.co.jp/books/book/2368/]] - 古典制御と現代制御の違い(長所と短所) - 伝達関数と状態空間表現の関係(簡単な運動方程式を例に) #ref(2014.11.07-1.JPG,left,noimg,板書1) #ref(2014.11.07-2.JPG,left,noimg,板書2) #ref(2014.11.07-3.JPG,left,noimg,板書3) #ref(2014.11.07-4.JPG,left,noimg,板書4) -Q:どういうときxがスカラーかベクトルの場合になるのか? -A:マスバネダンパ系の運動方程式は2階の微分方程式でした。この場合、状態空間表現(1階の微分方程式)にするために、状態変数は2行1列のベクトルとなります。同様に、n階の微分方程式を状態空間表現する場合は、状態変数はn行1列のベクトルとなります。状態変数がスカラーになるのは、1階の微分方程式の場合です。 -Q:表記として、スカラーもベクトルも G(s) = Y(s)/U(s) = cb/(s-a) でよいのか? -A:Y(s)/U(s)と書けるのは、U(s)がスカラ(つまり制御入力 u(t)がスカラ)の場合だけです(何かをベクトルでは割れない)。一方、cb/(s-a)と表記できる、つまり (s-a) で割れるのは、A 行列がスカラ(つまり、状態変数がスカラ)の場合だけです。 //■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ &color(black,red){&size(20){!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!以下は過去の情報です!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!};}; *第2回(2013.11.15) 第2章 システムの応答と安定性 [#q7208abc] - 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性 - 古典制御における安定性:インパルス応答がt→∞で0に収束する - ⇔ 現代制御における安定性:任意の初期値に対する応答がt→∞で0に収束する - ⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負 - ⇔ A行列の固有値の実部がすべて負 - 復習:たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベクトル、逆行列 - 状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換 #ref(report2.pdf,left,レポート2回目); #ref(2014.11.14-1.jpg,left,noimg,板書1); #ref(2014.11.14-2.jpg,left,noimg,板書2); #ref(2014.11.14-3.jpg,left,noimg,板書3); #ref(2014.11.14-4.jpg,left,noimg,板書4); #ref(2014.11.14-5.jpg,left,noimg,板書5); #ref(2014.11.14-6.jpg,left,noimg,板書6); #ref(2014.11.14-7.jpg,left,noimg,板書7); -Q:TF, SSRはどういう意味? -A:伝達関数(Transfer Function), 状態空間表現(State Space Representation)です。 -Q:x(0)=vとするの後、Iがvになっているところを聞き逃した -A:Iがvになったのは、I(単位行列)にvをかけたためです。 -Q:黒板の文字が小さい -A:すみません。次回、少し大きめにします。 *第3回(2013.11.22) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章 極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する) [#t81c8510] -解析から設計へ、出力フィードバック(難)→状態フィードバック(簡単、基本) -閉ループ系のA行列 = A - BF -A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性 -例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可) -可制御性の定義 -可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性) -レポート対策 #ref(report3.pdf,left,レポート3回目); #ref(2013.11.22-1.jpg,left,noimg,板書1); #ref(2013.11.22-2.jpg,left,noimg,板書2); #ref(2013.11.22-3.jpg,left,noimg,板書3); #ref(2013.11.22-4.jpg,left,noimg,板書4); #ref(2013.11.22-5.jpg,left,noimg,板書5); #ref(2013.11.22-6.jpg,left,noimg,板書6); -Q: f1 + f2 = 2、f1 - f2 = 3 がどこから出てきたかよく分からなかった -A: 特性方程式の係数を比較した結果です。ただし、2番目の式は、もともと f1 - f2 - 1 = 2 だったのをこの時点で変形しています。できれば授業中に指摘してもらえると(周りの人も)助かります。 &color(red){&size(25){レポート#1, #2 を返却しています。必ず持ち帰って復習しておくこと。};}; *第4回(2013.11.29) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御 [#h1a3db05] - 簡単な例題(a, x, b, u, f がすべてスカラ、b > 0)... 最適制御を直感的に理解できる - (i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、にトレードオフがある - 極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい - 最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる - 最適レギュレータ問題と、その解(リカッチ方程式、P>0) - 最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... f の二次方程式、閉ループが安定となる解を選ぶ - f の二次方程式とリカッチ方程式の関係 - 閉ループ系の安定性と P > 0 の関係 - r を大きくする((ii) を重視する)と、|f| が小さくなる #ref(report4.pdf,left,レポート4回目); #ref(2013.11.29-1.jpg,left,noimg,板書1); #ref(2013.11.29-2.jpg,left,noimg,板書2); #ref(2013.11.29-3.jpg,left,noimg,板書3); #ref(2013.11.29-4.jpg,left,noimg,板書4); #ref(2013.11.29-5.jpg,left,noimg,板書5); *第5回(2013.12.6) 第6章つづき〜 §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性 [#e77c1524] - レポート#4復習:「〜のとき」「〜ならば」「等価」「必要十分」「⇒」「⇔」 - 最適制御⇒安定かつJが最小 #ref(proof4.pdf,left,証明) - 行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0 - (半)正定行列の定義 - 対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6) - 対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8) #ref(proof3.pdf); - 最適レギュレータの設計(演習6.3,6.4):リカッチ方程式の解P、P > 0 ⇒ 対応する F が閉ループ系を安定化 #ref(report5.pdf,left,レポート5回目); #ref(2013.12.06-1.jpg,left,noimg,板書1); #ref(2013.12.06-2.jpg,left,noimg,板書2); #ref(2013.12.06-3.jpg,left,noimg,板書3); #ref(2013.12.06-4.jpg,left,noimg,板書4); #ref(2013.12.06-5.jpg,left,noimg,板書5); #ref(2013.12.06-6.jpg,left,noimg,板書6); *第6回(2013.12.13) §9.1状態観測器の構造 [#e31eb351] - 状態観測器の必要性:直接利用できない状態の推定 - 状態観測器の定義:t→∞で誤差なく x(t) を推定できる - 二つの疑問:(i)xを推定値で置き換えた制御系が安定となるか?; (ii)Jの最小化に与える影響は? - 方法1:状態観測器なし、x を単純に y におきかえる。u = -F y ... 静的出力フィードバック - 方法2:状態観測器?(演習9.1) + 状態フィードバック - 方法3:状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック - 演習9.3':方法1で安定化できない例 - 方法3の状態観測器を作る((9.3)式の導出、方法2は状態観測器にならない) - 可観測性(可制御性との関係) - 演習9.3':A - L C を安定(固有値の実部がすべて負)とする L の求め方 #ref(report6.pdf,left,レポート6回目); #ref(2013.12.13-1.jpg,left,noimg,板書1); #ref(2013.12.13-2.jpg,left,noimg,板書2); #ref(2013.12.13-3.jpg,left,noimg,板書3); #ref(2013.12.13-4.jpg,left,noimg,板書4); #ref(2013.12.13-5.jpg,left,noimg,板書5); #ref(2013.12.13-6.jpg,left,noimg,板書6); #ref(2013.12.13-7.jpg,left,noimg,板書7); *第7回(2013.12.20) §9.3併合系の固有値 [#m3858dce] - 方法3で安定化できる理由:閉ループ系の固有値 = A - BF と A - LC の固有値 - 方法3が評価関数Jの最小値に与える影響? - 復習:静的/動的、状態/出力フィードバック #ref(2013.12.20-1.jpg,left,noimg,板書1); #ref(2013.12.20-2.jpg,left,noimg,板書2); #ref(2013.12.20-3.jpg,left,noimg,板書3); #ref(2013.12.20-4.jpg,left,noimg,板書4); #ref(2013.12.20-5.jpg,left,noimg,板書5); #ref(2013.12.20-6.jpg,left,noimg,板書6); #ref(2013.12.20-7.jpg,left,noimg,板書7); *第8回(2013.12.27) 期末テスト, 授業アンケート実施 [#y85bfa34] - 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する - 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ - 試験時間: 90分 &color(red){&size(25){前半・後半を含めた最終成績を掲示しています。レポート返却場所にて。確認してください。};};