*応用数学2B 2012年度 [#n0b8fc2b]

** &color(green){[第1回]}; 2012.10.3 [#d7c79036]

-Q:独習用に、複素解析の良い本を紹介してほしい
-A:たまたま手元にある本ですが、薄い本の割には演習問題も多く含まれていて、その解答も不親切ではない(解き方のヒントも載っている)本として、「改訂 工科の数学4 複素関数(培風館)」があります。僕の持っているのは1994年版(第22刷)で、ミスプリントも少ないようです。どの本というよりもむしろ、複数の本を持って読み比べる事を勧めます。amazonの書評なども参考にしてみては。

-Q:シラバスは無いのか?
-A:あります。リンクはないようですが、ダウンロードはできました(10月2日)

-Q:質問があるときは、どうすれば良い?
-A:できるだけ当日の授業中に聞いてください。聞きにくければ授業後でも良いです。

-Q:コーシーの積分定理〜真性特異点を補講してほしい
-A:質問を小さく具体的にしてもらえると答えやすいです。定理などは、まずはそれを認めて、ツールとして使えるようになってください。使う状況としては、制御工学の例で言えば、ナイキストの安定定理の証明を追ってみる。ツールとして使えるようになってから、その定理の証明に取り組むのが、やる気が維持できて良いと思います。

-Q:教科書の s > 0 は、すべて Re s > 0 という意味か?
-A:そうです。

-Q:少し早かった
-A:余分な事を早口で喋ったところが、そういう印象を与えたのではないかと思います。
もう少しゆっくり喋るようにします。

** &color(green){[第2回]}; 2012.10.10 [#ibb4f4c3]

-Q:例題よりも問を中心にしてほしい(例題は説明が載っているので)
-A:例題の解説がくどかったかもしれません。教科書に十分な説明が載っている例題については説明を少し簡単にしようと思います。

-Q:青のチョークは見えにくいので別の色にしてほしい
-A:すみません。緑にします。

** &color(green){[第3回]}; 2012.10.17 [#y557b8dc]

-Q:たたみこみが何をしたくてやっているのかよく分かりません
-A:詳細は、次次回に説明しますが、像関数の積の逆ラプラス変換をしたくて、たたみこみは存在します。例えば、ある与えられたシステムに、ある入力を加えたときの出力がどうなるか?考える際に、たたみこみが使われます。

** &color(green){[第4回]}; 2012.10.24 [#z0d38824]

-Q:微分方程式にlogが含まれていると、教科書の表だけではラプラス変換を使って解けないのでは?
-A:logの積分ができないので、ラプラス変換に限らず、微分方程式を解くことができません。(もし解けるような例を知っていたら教えてください)

-Q:1回の講義で進む範囲を広げてほしい。
-A:シラバスに記載されているスケジュールよりも若干遅れていることが原因と思います。もう少し説明を簡潔にして、シラバスのスケジュールに近づけるようにします。

** &color(green){[第5回]}; 2012.10.31 [#ze53d1a0]

-Q:授業中の解説がだんだん雑になってきた気がする。
-A:このくらいはわかるだろう、という予想が十分ではなく、説明が簡潔すぎたようです。
一方で、説明がくどいと感じる人もいて、そのバランスを取るのに苦労しています。
できれば、授業中に説明が足りない、と指摘してもらえると助かります。私ももう少し皆さんの様子から察するようにします。

** &color(green){[第6回]}; 2012.11.7 [#a25375d4]

-Q:過去問の解答例がほしい
-A:これは。。。すみませんが勘弁してください。

-Q:初期値がゼロでない場合、伝達関数
 Y(s)/X(s) = (b_1 s + b_0) / (s^2 + a_1 s + a_0)
は、微分方程式
 y'' + a_1 y' + a_0 y = b_1 x' + b_0 x
に変換できないのか?
-A:s^2 Y(s) の逆ラプラス変換が y'' に対応しなくなるので、できません(s Y(s) など、他の項も同様)。
そもそも伝達関数は、入力と出力の比です。出力における、入力の寄与度、とも言えます。入力以外(つまり、初期値)の寄与度については、無視して考えます。
実際、初期値がゼロならば、システムの出力は、その入力(と伝達関数)によって一意に定まりますが、初期値がゼロでない場合、出力にはシステムの初期値による応答(初期値応答)も含まれるようになり、入力から一意に定まりません。


** &color(green){[第7回]}; 2012.11.14 中間テスト [#p4878489]

** &color(green){[第8回]}; 2012.11.21 [#xc5bc60c]

- 級数を打ち切る高調波の字数Nを大きくしていくにつれて、フーリエ級数の近似精度が向上していく様子をグラフを書いて確認する(p.85 例題2、Matlabを使う場合)

 x1 = (-1:0.01:0)';
 x2 = (0:0.01:1)';
 x = [x1; x2];
 y1 = 0*x1;
 y2 = 0*x2+1;
 y = [y1; y2];
 m = size(y, 1);
 f = 1/2 * ones(m,1);
 for n=1:30
   bn = (1 - (-1)^n)/(n*pi);
   f = f + bn * sin(n*pi*x);
   plot(x, y, 'b', x, f, 'r');
 end

** &color(green){[第9回]}; 2012.12.5 [#xbfa00cd]

-Q:p.85例題2のf(x)を、不連続点における値が1/2となるように変更した場合、f(x)とそのフーリエ級数は(f(x)が不連続点を持つにも関わらず)等しくなるのか?
-A:とても良い質問ですね。質問されなくても、当然、授業中に説明すべき内容でした。すみません。フーリエ級数の収束定理より、f(x)とそのフーリエ級数は等しくなります(nを大きくしていけばいくほど、nまでの和をとった級数が、いくらでもf(x)に近く、ということです)。f(x)は不連続点を持ちますが、そこでの値が、左右両極限の平均値にセットされているので。

-Q:anが図から明らかなら、テストで記述を省いてもいいか?
-A:anが0となることが図から明らかなら、という意味だと思いますが、明らかである理由を説明すればOKです。つまり、与えられた関数が奇関数の場合、「奇関数なので c0 と an は 0 となる」と説明すれば十分です。また、今日僕も授業中にやりましたが、図より平均値c0が明らかな場合は、「図より明らかにc0=...である」と説明すれば十分です。

** &color(green){[第10回]}; 2012.12.19 [#o9f339aa]

-Q:複素フーリエ級数展開する方が、フーリエ級数展開するよりも一般的に容易と言えるか?
-A:実際にかかる計算の手間は個々の問題に依存し、これを一般的に比較することは不可能なので、今日比較に使った問題7(2)のように与えられた関数がxの多項式であるとして、部分積分の回数を比較してみます。問題7(2)では、xの1次式でした。これを少し一般化して、xのm次式であるとしてみます。すると、an, bn, cn を求めるために、部分積分をそれぞれm回行う必要があります。複素フーリエ級数展開する場合は cn だけを求めればよいので、部分積分はm回行うだけなのに対して、フーリエ級数展開する場合は、an と bn で合計2m回の部分積分を実行する必要があります。各部分積分1回分の手間が同じである保証はありませんが、部分積分の回数は、複素フーリエ級数展開の方が少ないと言えそうです。。。。。授業中に説明すべきでしたね。

** &color(green){[第11回]}; 2013.1.9 [#nb397f9f]

-Q:熱伝導問題の解について、両端の温度が 0 でない場合、sin が cos になったりするのか?
-A:講義の際、答えがあやふやだったため補足します。
結論は、cos になることはありません。両端の温度が 0 でない場合は、その両端の温度を直線でつないだ温度分布が、最終的にいきつく温度分布となります。
その最終的な温度分布からの差分が、フーリエ級数で表現されることになるので、フーリエ級数の部分は、両端の温度が0のときと同じ形(t->∞で0に収束する指数関数と、sin関数を持つ)になります。詳細は、以下のpdfファイルを見てください。
#ref(ex.pdf);


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