授業/動的システムの解析と制御 の変更点

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[[授業]]

*第1回&color(green){済};(2012.11.2) 概要〜第１章　システムを状態方程式で記述する（線形化は割愛）[#if2d0aa0]
- 古典制御→現代制御→ポスト現代制御、相互の関係、長所と短所
- 運動方程式の例、伝達関数、状態空間表現の相互関係
- なぜ状態空間表現が必要か?...最適レギュレータ問題の解法

&color(blue,orange){この授業の目的：与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる}; ... いい忘れました...
- 成績の評価方法と評価項目：レポート(30%)、期末テスト(70%)

#ref(report1.pdf,left,レポート１回目);

#ref(2012.11.02-1.jpg,left,noimg,板書1)
#ref(2012.11.02-2.jpg,left,noimg,板書2)
#ref(2012.11.02-3.jpg,left,noimg,板書3)
#ref(2012.11.02-4.jpg,left,noimg,板書4)

-Q:演習の時間が短かった。１問当たりの時間を１、２分長くしてほしい。
-A:他にも、難しかった、というコメントが多くありました。もう少し皆さんの様子を確認しながら進めます。

-Q:ベクトル表記はしっかりした方がいいと思います。
-A:ある変数がベクトルであることを明示するため、変数の上に→を書くことがありますが、制御工学では、ベクトルであっても→を省略して表記することが慣例です。という説明が抜けており、申し訳ありません。

-Q:少し暗い
-A:部屋の照明が、という意味と思います。照度調整できるようなら次回やります。ダメな場合は、前の方に着席お願いします。


*第2回&color(green){済};(2012.11.9) 第２章 システムの応答と安定性 [#w41491eb]

- レポートについて: 第一回レポート返却→405居室前、第二回レポート提出締切11月14日(水))
- 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性
- 応答の安定性、伝達関数の極、A行列の固有値の関係: 古典制御の結果、現代制御で扱う内容、この授業で扱う内容
- 現代制御では: (2.3)式の導出、状態遷移行列が重要、初期値に依存する項と入力に依存する項
- 応答が安定となる条件: 古典制御...インパルス応答は伝達関数の極すべてに依存する; 現代制御...状態遷移行列の振る舞いはA行列の固有値すべてに依存する; 
- 伝達関数の極 = A行列の固有値: よって安定性を議論する上では、初期値応答もインパルス応答も同じ
- 初期値応答に、A行列の固有値、固有ベクトルがどう関係するか
- 固有値、固有ベクトルの復習

#ref(report2.pdf,left,レポート２回目);

#ref(2012.11.09-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2012.11.09-2.jpg,left,noimg,板書2);
#ref(2012.11.09-3.jpg,left,noimg,板書3);
#ref(2012.11.09-4.jpg,left,noimg,板書4);
... 左半分を消してしまいました
#ref(2012.11.09-5.jpg,left,noimg,板書5);

-Q:伝達関数の極と、状態空間表現のA行列の固有値が一致する理由?
-A:伝達関数がC(sI-A)^{-1}Bと表現されることと、その極が|sI-A| = 0の解であること、それがAの固有値の定義に一致することから、言えます。

-Q:(すべての初期状態x(0)に対する)初期値応答がt→∞で0に収束することと、インパルス応答がt→∞で0に収束することが同じ理由?
-A:(i)古典制御より、インパルス応答が伝達関数の極すべてに依存すること(実部が非負の極があれば、インパルス応答は発散する)ことと、(ii)インパルス応答と初期値応答がそれぞれ C e^{At} B, C e^{At} x(0) と書けること、によります。ただし、すべての初期状態x(0)を考慮する場合は、です。一部の初期状態しか考慮しない場合、次のような不都合が生じます：極端な例ですが、インパルス応答が発散するような場合でも、x(0)=0と選べば、初期値応答は0となり発散しません。これは、不安定な固有値を動かさないようにx(0)を選ぶ場合も同様です。...このような、初期状態がどう与えられるのか(安定性を議論する際には、特定の初期状態を考えない)という話が授業では不足していたと思います。申し訳ありません。お詫びして補足します。


*第3回&color(green){済};(2012.11.16) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章 極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する) [#de3f0b86]

+解析/設計, F.F./F.B., 状態フィードバック/出力フィードバック
+状態フィードバックによって、システムの固有値を変えられる(与えられた行列A,Bに対して、行列Fによって、A-BFの固有値が変えられる)
+A-BFの固有値をFによって自由に指定できる=可制御性(B=0なら、指定不可。Bが0でないときも、自由に指定できるとは限らない。ただし、複素数の固有値に対してはその複素共役も含めないとダメ。A-BFが実行列なので。)
+可制御でない例 ... 状態変数の一部が、状態フィードバックによって変えられない
+可制御の例 ... Fによって、特性方程式の係数を任意に指定可能 = 固有値を任意に指定可能 ... 直接法による極配置
+可制御性の定義(数式で書くとうるさいが、意味は、A-BFの固有値を自由に変えられること)
+可制御性の判定 ... 可制御性行列の正則性

#ref(report3.pdf,left,レポート３回目);

#ref(2012.11.16-1.jpg,left,noimg,板書1);
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#ref(2012.11.16-5.jpg,left,noimg,板書5);
#ref(2012.11.16-6.jpg,left,noimg,板書6);
#ref(2012.11.16-7.jpg,left,noimg,板書7);

-Q: uかnかギリシャ文字なのか判別が難しいときがあるので、英数字はハッキリと書いてほしい
-A: すみません、改善します。今後は授業中にも指摘してもらえると助かります。


*第4回&color(green){済};(2012.11.30) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御 [#j8e92886]
+今日の目標:1次系(状態変数がスカラ)の場合に、最適レギュレータ問題を解けるようになる 
+古典制御(極配置法ほか)では、安定性(制御性能)と制御入力の大きさ(コスト)のトレードオフをとることが困難
+評価関数の意味: 最小化が可能(自乗和なので0以上、微分可能)、重みの調整 = トレードオフ
+評価関数Jを最小化する状態フィードバックfを求める ... Jをfで微分して0とおく→fに関する二次方程式→閉ループ系が安定となる解を選ぶ
+最適レギュレータ問題(最適制御問題)の一般の場合(状態変数がベクトルの場合)
+その解:代数リカッチ方程式 ... fの2次方程式との関係

#ref(report4.pdf,left,レポート４回目);

#ref(2012.11.30-1.jpg,left,noimg,板書1);
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#ref(2012.11.30-3.jpg,left,noimg,板書3);
#ref(2012.11.30-4.jpg,left,noimg,板書4);


*第5回&color(green){済};(2012.12.7) 第6章つづき〜 §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性 [#w624c3fb]

+レポート#4の復習: Jの最小化は、閉ループ系の安定性が前提
+行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0 (R≧0としないのは、最適解が定まる(解が発散しない)ようにするため)
+(半)正定行列の定義
+対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6) ... 定理※
+(対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8))
+定理※の証明の概要
#ref(proof3.pdf,left,定理※の証明);
+リカッチ方程式を解く(数値例により、解が複数あることを確認)
+そのうち、正定解に対応する状態フィードバックが閉ループ系を安定化する(A-BFの固有値の実部がすべて負になる)
+ 最適制御⇒安定かつJが最小
#ref(proof4.pdf,left,証明)

#ref(report5.pdf,left,レポート５回目);

#ref(2012.12.07-1.jpg,left,noimg,板書1);
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#ref(2012.12.07-7.jpg,left,noimg,板書7);

*第6回&color(green){済};(2012.12.14) §9.1状態観測器の構造、§9.3併合系の固有値 [#g4a53f86]
+ 状態観測器の必要性 ... 状態フィードバックから出力フィードバックへ
-- 方法１: u = -F y ... 静的出力フィードバック
-- 方法２:状態観測器?(演習9.1) + 状態フィードバック
-- 方法３:状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
+ 方法１で安定化できない例
+ 方法３((9.3)式が状態観測器であることの証明 (方法２は状態観測器でない)
+ 可観測性
+ 演習9.3' ... L を求める練習
+ 併合系(方法３の制御系)の固有値 = (A - B F の固有値) + (A - L C の固有値)

#ref(2012.12.14-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2012.12.14-2.jpg,left,noimg,板書2);
#ref(2012.12.14-3.jpg,left,noimg,板書3);
#ref(2012.12.14-4.jpg,left,noimg,板書4);
#ref(2012.12.14-5.jpg,left,noimg,板書5);


*第7回&color(red){予定};(2012.12.21) 期末テスト, 授業アンケート実施 [#h8f64942]
*第7回&color(green){済};(2012.12.21) 期末テスト, 授業アンケート実施 [#h8f64942]
- 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
- 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ
- 試験時間: 90分