授業/応用数学2B_2014
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*応用数学2B 2014年度 [#k3f593e8]
** &color(green){[第1回]}; 2014.10.1 概要(ラプラス変換と...
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** &color(green){[第2回]}; 2014.10.8 ラプラス変換の性質 [...
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... すみません。最後の板書の撮影を忘れました。代わりに、...
-Q:黒板のページ番号とラプラス変換の性質の番号が紛らわしい...
-A:おっしゃる通りで、次回からそうします。
-Q:双曲線関数とは何か。双曲線関数が数学以外の分野で使われ...
-A:\[ \cosh x := \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \sinh x :=...
\[ \cosh ix = \cos x, \quad \sinh ix = i \sin x \]
の関係があります(簡単に確認できます)。そもそも指数関数...
一階の微分方程式の解には、\[ e^x \] が現れます。
波動方程式など二回の(偏)微分方程式の解には、\[ e^{ix}, ...
梁のたわみ振動の方程式など四階の(偏)微分方程式の解には...
このように、高階の(偏)微分方程式の解として双曲線関数が...
-Q: 板書の || という記号の意味は?
-A: 斜めの二重線の意味と思いますが、証明の際は「証明終わ...
(証明終わりを記載するためには、本当はそのまま「証明終わ...
** &color(green){[第3回]}; 2014.10.22 ラプラス変換の性質...
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-Q: 制御工学などではラプラス変換すると周波数領域で考えら...
-A: Bode線図やナイキスト線図などですね。どちらも対象とす...
-Q: (部分分数展開する際の)留数に基づく方法はなぜ教科書...
-A: わかりません。僕自身は留数に基づく方法が分かり易いと...
** &color(green){[第4回]}; 2014.10.29 逆ラプラス変換(つ...
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-Q: ラプラス変換を用いた方が簡単に感じたのは初期条件の項...
-A: そうかもしれません。初期条件を与えない場合について、...
-Q: 重要な部分に赤や黄色を使ってもらえるとうれしい
-A: 白で書いた後に重ねて書く際、見難くならないように別の...
-Q: 留数を使って直接ラプラス逆変換を行うものは、いつ勉強...
-A: 前回の授業で"難しい方法"として紹介した、複素積分を使...
** &color(green){[第5回]}; 2014.11.5 微分方程式への応用(...
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-Q:テストに出ないと言ったところをまとめて教えて欲しい
-A:次回、昨年度の試験問題を配るので参考にしてください。基...
-Q: 実際にたたみこみ積分を用いる例があれば分かりやすくな...
-A: なるほど、問4(2)の x(t) を、g(t) と f(t) のたたみこみ...
-Q: \[ x'(0) = \alpha\] とおく理由がよくわからなかった。
-A: 定数である、ということをはっきりさせたいのだと思いま...
-Q: f(t) による自由振動がなかなかイメージがつかなくて難し...
-A: 減衰を入れたらイメージしやすくなると思います。強制振...
-Q: 問を解くときの待ち時間が短い気がします。
-A: 気を付けます。授業中にも指摘してもらえると助かります。
** &color(green){[第6回]}; 2014.11.14 線形システムの伝達...
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-Q: 再試の最高点は?
-A: 60点です。
-Q: 問12の y'(0) = 1 と y'(0-) = 0 があまりよくわからなか...
-A: 前者は、t = 0 における y'(t) の値です。後者は、t が負...
\[ \lim_{t\rightarrow 0, t < 0} y'(t) \]
のことです。つまり、y'(t) のグラフを描いたとすると、t が...
おそらく他にもわからない人がいるので、その場で聞いてもら...
-Q: インパルス応答がよくわからない
-A: 形式的には、デルタ関数が入力されたときの出力のことで...
逆に「デルタ応答」と呼ぶ流儀もあるようです。名前の由来は...
-Q: \[ \int_0^t e^{-(t - \tau)} x(\tau) d\tau \] の説明が...
-A: 確かに説明が少しぐちゃぐちゃしていました。すみません...
-- y(t) の値を決めるのに、過去全ての情報が使われる。
-- 積分の中身において、\[ e^{-(t - \tau)} \] は、\[ x(\ta...
x(t) の方が x(0) よりも重視される。y(t)を求めるためには。...
-- 一般の H(s) の場合、x(0) が時間 t の経過とともにどうな...
H(s) が積分器の場合とか、むだ時間の場合とか、極端な場合を...
** &color(green){[第7回]}; 2014.11.19 中間テスト [#wf195d...
** &color(green){[第8回]}; 2012.11.21 フーリエ解析の概要...
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-Q: フーリエ級数展開とフーリエ変換の違いは、周期が有限か...
-A: おおざっぱに言えば、同じです。もう少し正確に言えば、
とても長〜い周期 2l の関数 f(x) が与えられたとき、これに...
\[
\Delta u = \frac{\pi}{l}
\]
とおくと、l が十分大きいのでこれは十分小さくなります。
次に、フーリエ変換の引数 u に対して
\[
n = \frac{u}{\Delta u}
\]
とおきます。(フーリエ変換の引数 u が変わることが、複素フ...
以上のもとで、
\[
\frac{1}{2\pi} G(u) \Delta u \simeq C_n
\]
が近似的に成り立ちます。
f(x) を具体的な関数の例(たとえば、-1<= x <= 1 の範囲で 1...
複素フーリエ級数が、周期を∞にもっていくとフーリエ変換の反...
-Q: 最終成績の評価方法について
-A: 最終成績は、中間試験と期末試験の平均値です。授業の最...
-Q: 中間試験結果の分布を知りたい
-A: &ref(hist.jpg);
** &color(green){[第9回]}; 2014.12.10 一般の周期のフーリ...
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#ref(2014.12.10-3.jpg,left,noimg,板書 #3);
#ref(2014.12.10-4.jpg,left,noimg,板書 #4(二箇所誤りあり...
#ref(2014.12.10-5.jpg,left,noimg,板書 #4(赤字で誤り訂正...
...授業後、2箇所の誤りを指摘してもらいました。申し訳あり...
-Q:anまたはbnが0となることが図から明らかな場合、計算せず...
-A:良いです。
** &color(green){[第10回]}; 2014.12.24 複素フーリエ級数 [...
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-Q: 期末テストの過去問を配るか?
-A: 配ります。
-Q: 昨年度の電子制御工学実験のレポート課題で既知の内容か...
-A: ご指摘ありがとうございます。他科目との重複については...
** &color(green){[第11回]}; 2015.1.7 フーリエ級数の偏微分...
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#ref(2015.01.07-3.jpg,left,noimg,板書 #3);
#ref(2015.01.07-4.jpg,left,noimg,板書 #4);
-Q:ただk,l,f(x)をu(x,t)に代入するだけでなく、そこまでの過...
-A:もっともな指摘です。今日は説明する時間がなくすみません...
両端の温度が0でない場合について、一昨年度のQAを以下に記載...
-Q:熱伝導問題の解について、両端の温度が 0 でない場合、sin...
-A:講義の際、答えがあやふやだったため補足します。
結論は、cos になることはありません。両端の温度が 0 でない...
その最終的な温度分布からの差分が、フーリエ級数で表現され...
#ref(ex_fixed.pdf);
** &color(green){[第12回]}; 2015.1.14 フーリエ変換と積分...
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-Q:卒研が忙しい
-A:がんばってください。
** &color(green){[第13回]}; 2015.1.21 フーリエ変換の性質 ...
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-Q:基本的な関数のフーリエ変換が5つ出て来たが、これらは実...
-A:5つのうち、(iii)は次回、熱伝導方程式の解を構成する際に...
答えになっていない場合は、また聞いてください。
** &color(green){[第14回]}; 2015.2.4 偏微分方程式への応用...
#ref(2015.02.04-1.jpg,left,noimg,板書 #1); ... □1を飛ばし...
#ref(2015.02.04-2.jpg,left,noimg,板書 #2);
#ref(2015.02.04-3.jpg,left,noimg,板書 #3);
#ref(2015.02.04-4.jpg,left,noimg,板書 #4);
-Q:中間試験と期末試験の再試は別々に行うのか?
-A:別々に行います(それぞれの難易度は本試験と同じです)
-Q:試験で u(x,t) を求めた後、初期条件を満たすことを示す必...
-A:ありません。
-Q:偏微分方程式が変わったら、解も変わるのか?
-A:変わります。たとえば正の実数 k で一般化した偏微分方程式
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{...
に対する解は
\[ u(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi k t}} \phi(x) \ast e^{-\f...
となります。
//■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
//&color(black,red){&size(20){!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!...
終了行:
*応用数学2B 2014年度 [#k3f593e8]
** &color(green){[第1回]}; 2014.10.1 概要(ラプラス変換と...
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... すみません。最後の板書の撮影を忘れました。代わりに、...
-Q:黒板のページ番号とラプラス変換の性質の番号が紛らわしい...
-A:おっしゃる通りで、次回からそうします。
-Q:双曲線関数とは何か。双曲線関数が数学以外の分野で使われ...
-A:\[ \cosh x := \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \sinh x :=...
\[ \cosh ix = \cos x, \quad \sinh ix = i \sin x \]
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一階の微分方程式の解には、\[ e^x \] が現れます。
波動方程式など二回の(偏)微分方程式の解には、\[ e^{ix}, ...
梁のたわみ振動の方程式など四階の(偏)微分方程式の解には...
このように、高階の(偏)微分方程式の解として双曲線関数が...
-Q: 板書の || という記号の意味は?
-A: 斜めの二重線の意味と思いますが、証明の際は「証明終わ...
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-Q: 制御工学などではラプラス変換すると周波数領域で考えら...
-A: Bode線図やナイキスト線図などですね。どちらも対象とす...
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-A: わかりません。僕自身は留数に基づく方法が分かり易いと...
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-Q: ラプラス変換を用いた方が簡単に感じたのは初期条件の項...
-A: そうかもしれません。初期条件を与えない場合について、...
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-A: 白で書いた後に重ねて書く際、見難くならないように別の...
-Q: 留数を使って直接ラプラス逆変換を行うものは、いつ勉強...
-A: 前回の授業で"難しい方法"として紹介した、複素積分を使...
** &color(green){[第5回]}; 2014.11.5 微分方程式への応用(...
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-Q:テストに出ないと言ったところをまとめて教えて欲しい
-A:次回、昨年度の試験問題を配るので参考にしてください。基...
-Q: 実際にたたみこみ積分を用いる例があれば分かりやすくな...
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-Q: \[ x'(0) = \alpha\] とおく理由がよくわからなかった。
-A: 定数である、ということをはっきりさせたいのだと思いま...
-Q: f(t) による自由振動がなかなかイメージがつかなくて難し...
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-Q: 問を解くときの待ち時間が短い気がします。
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-Q: 再試の最高点は?
-A: 60点です。
-Q: 問12の y'(0) = 1 と y'(0-) = 0 があまりよくわからなか...
-A: 前者は、t = 0 における y'(t) の値です。後者は、t が負...
\[ \lim_{t\rightarrow 0, t < 0} y'(t) \]
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おそらく他にもわからない人がいるので、その場で聞いてもら...
-Q: インパルス応答がよくわからない
-A: 形式的には、デルタ関数が入力されたときの出力のことで...
逆に「デルタ応答」と呼ぶ流儀もあるようです。名前の由来は...
-Q: \[ \int_0^t e^{-(t - \tau)} x(\tau) d\tau \] の説明が...
-A: 確かに説明が少しぐちゃぐちゃしていました。すみません...
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-- 積分の中身において、\[ e^{-(t - \tau)} \] は、\[ x(\ta...
x(t) の方が x(0) よりも重視される。y(t)を求めるためには。...
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H(s) が積分器の場合とか、むだ時間の場合とか、極端な場合を...
** &color(green){[第7回]}; 2014.11.19 中間テスト [#wf195d...
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-Q: フーリエ級数展開とフーリエ変換の違いは、周期が有限か...
-A: おおざっぱに言えば、同じです。もう少し正確に言えば、
とても長〜い周期 2l の関数 f(x) が与えられたとき、これに...
\[
\Delta u = \frac{\pi}{l}
\]
とおくと、l が十分大きいのでこれは十分小さくなります。
次に、フーリエ変換の引数 u に対して
\[
n = \frac{u}{\Delta u}
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以上のもとで、
\[
\frac{1}{2\pi} G(u) \Delta u \simeq C_n
\]
が近似的に成り立ちます。
f(x) を具体的な関数の例(たとえば、-1<= x <= 1 の範囲で 1...
複素フーリエ級数が、周期を∞にもっていくとフーリエ変換の反...
-Q: 最終成績の評価方法について
-A: 最終成績は、中間試験と期末試験の平均値です。授業の最...
-Q: 中間試験結果の分布を知りたい
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-A:良いです。
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-Q: 期末テストの過去問を配るか?
-A: 配ります。
-Q: 昨年度の電子制御工学実験のレポート課題で既知の内容か...
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** &color(green){[第11回]}; 2015.1.7 フーリエ級数の偏微分...
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両端の温度が0でない場合について、一昨年度のQAを以下に記載...
-Q:熱伝導問題の解について、両端の温度が 0 でない場合、sin...
-A:講義の際、答えがあやふやだったため補足します。
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その最終的な温度分布からの差分が、フーリエ級数で表現され...
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-Q:卒研が忙しい
-A:がんばってください。
** &color(green){[第13回]}; 2015.1.21 フーリエ変換の性質 ...
#ref(2015.01.21-1.jpg,left,noimg,板書 #1);
#ref(2015.01.21-2.jpg,left,noimg,板書 #2);
#ref(2015.01.21-3.jpg,left,noimg,板書 #3);
#ref(2015.01.21-4.jpg,left,noimg,板書 #4);
#ref(2015.01.21-5.jpg,left,noimg,板書 #5);
#ref(2015.01.21-6.jpg,left,noimg,板書 #6);
-Q:基本的な関数のフーリエ変換が5つ出て来たが、これらは実...
-A:5つのうち、(iii)は次回、熱伝導方程式の解を構成する際に...
答えになっていない場合は、また聞いてください。
** &color(green){[第14回]}; 2015.2.4 偏微分方程式への応用...
#ref(2015.02.04-1.jpg,left,noimg,板書 #1); ... □1を飛ばし...
#ref(2015.02.04-2.jpg,left,noimg,板書 #2);
#ref(2015.02.04-3.jpg,left,noimg,板書 #3);
#ref(2015.02.04-4.jpg,left,noimg,板書 #4);
-Q:中間試験と期末試験の再試は別々に行うのか?
-A:別々に行います(それぞれの難易度は本試験と同じです)
-Q:試験で u(x,t) を求めた後、初期条件を満たすことを示す必...
-A:ありません。
-Q:偏微分方程式が変わったら、解も変わるのか?
-A:変わります。たとえば正の実数 k で一般化した偏微分方程式
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{...
に対する解は
\[ u(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi k t}} \phi(x) \ast e^{-\f...
となります。
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