授業/応用数学2B_2015
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*応用数学2B 2015年度 [#ff95d280]
** &color(green){[第1回]}; 2015.9.30 概要(ラプラス変換と...
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-Q: シラバスは配布しないのか?
-A: シラバスのホームページからダウンロードしてください。[...
-Q: 声をもっと張ってほしい
-A: すみません。改善します。
-Q: 広義積分の極限を取るときに値が収束するか等の証明はテ...
-A: 不要です。
** &color(green){[第2回]}; 2015.10.7 ラプラス変換の性質 [...
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-Q: L[sin t]を \[\sin t = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}\] ...
-A: どちらも、s の実部が正、となります。s > i は正しくは...
-Q: \[e^{\alpha t} \sin \omega t \] の負に注意?
-A: 話がこの部分に進んだとき、その前の部分で話すつもりだ...
\[ \sin (-\omega t) = - \sin \omega t, \quad \cos(-\omega...
が、そのラプラス変換
\[ {\cal L}\left[\sin ((-\omega) t)\right] = \frac{(-\ome...
\[ {\cal L}\left[\cos ((-\omega) t)\right] = \frac{s}{s^2...
を介しても理解できる、ということです。
** &color(green){[第3回]}; 2015.10.21 ラプラス変換の性質...
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-Q: 逆ラプラス変換時に、留数和による方法は使っても大丈夫...
-A: 大丈夫です。
** &color(green){[第4回]}; 2015.10.28 逆ラプラス変換(つ...
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-Q: 部分分数展開の分母からどのようにおいていいかわからな...
-A: 説明だけして具体的に式を書かなかったため、理解しにく...
以下、はしょった部分を補足します。足りない場合はまた聞い...
-- まず、例題15(1)でなぜ
\[
\frac{s}{(s+2)(s+3)(s+4)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3}...
\]
とおくか。そもそも、上式左辺はかけ算で、右辺は足し算です...
次に、左辺から右辺をどう構成するかについてですが、左辺の...
-- では、例題15(2)の場合はどうか。
\[
\frac{1}{(s+1)^2(s-3)} = \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s-3}
\]
とおけば十分ではないか?左辺も右辺も、s = -1, 3 を共通の...
\[
a(s-3)+b(s+1)^2 = bs^2 + (2b+a)s + (b -3a)
\]
という特殊な形をしていれば、
\[
\frac{bs^2+(2b+a)s + (b-3a)}{(s+1)^2(s-3)} =
\frac{a(s-3)+b(s+1)^2}{(s+1)^2(s-3)}
\]
\[
\frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s-3} = \frac{A(s-3)+B(s+1)^2...
\]
より、A = a, B = b と定まりますが)。実際、今の例では分子...
-- 例題15(1) で分子が s^3 の場合:定数項が必要です。これ...
\[
\frac{s^3}{(s+2)(s+3)(s+4)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+...
\]
とおけます。実際、
\begin{eqnarray}
(上式右辺)&=& \frac{A(s+3)(s+4) + B(s+2)(s+4) + C(s+2)(...
&=& \frac{A(s^2 + 7s + 12) + B(s^2 + 6s + 8) + C(s^2 + 5s...
&=& \frac{D s^3 + (A+B+C+9D)s^2 + (7A+6B+5C+26D)s + (12A+...
\end{eqnarray}
となって、D=1 となります(逆に言えば、D=0では、s^3 を表せ...
残りの A, B, C は、s^2, s^1, s^0 の係数が全て 0 となるよ...
今の例のように分子多項式が 3 次の場合には、その係数を表す...
より一般的に、分子が定数 a_i を持つ任意の三次多項式
\[
a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0
\]
の場合には、
\[
\frac{a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0}{(s+2)(s+3)(s+4)} =
\frac{D s^3 + (A+B+C+9D)s^2 + (7A+6B+5C+26D)s + (12A+8B+6...
\]
となり、s^3, s^2, s^1, s^0 の各係数が両辺で等しくなるよう...
** &color(green){[第5回]}; 2015.11.4 微分方程式への応用(...
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** &color(green){[第6回]}; 2015.11.11 線形システムの伝達...
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□1 の黒板にδ(t)とe^{-t}のグラフと、以下追記(写真取り忘れ...
インパルス応答 ... t=0の瞬間の入力による、時刻tにおける...
-Q: 丸4の重みが分からなかった
-A: 説明がイマイチでした。説明したかったことは次のことで...
-- 積分の中身において、\[ e^{-(t - \tau)} \] は、\[ x(\ta...
y(t)を定めるためには x(t) の方が x(0) よりも重視される(x...
-- 一般の H(s) の場合、x(0) が時間 t の経過とともにどうな...
なお、これは説明しませんでしたが、H(s) = 1/s の場合には、...
** &color(green){[第7回]}; 2015.11.18 中間テスト [#ha213f...
** &color(green){[第8回]}; 2015.12.2 フーリエ解析の概要、...
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** &color(green){[第9回]}; 2015.12.9 一般の周期のフーリエ...
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** &color(green){[第10回]}; 2015.12.16 複素フーリエ級数 [...
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** &color(green){[第11回]}; 2016.1.13 フーリエ級数の偏微...
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-Q: 最後のところを詳しく説明してほしい
-A: 一番最後に説明した、簡単な方法、のことだとして以下回...
まず、奇関数 f(x) のフーリエ級数展開は、
\[
f(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\frac{n\pi x}{l}
\]
と書けます。l = 2 に注意すると、練習問題1.5の f(x) は
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& 5\sin 2\pi x - 3\sin 5\pi x \\
&=& 5\sin \frac{4\pi x}{2} -3\sin\frac{10\pi x}{2}
\end{eqnarray*}
となります。つまり、フーリエ係数は n = 4, 10 のときだけ非...
\[
b_4 = 5, \quad b_{10} = -3
\]
であることがわかります。
(f(x) はもともとフーリエ級数の形で与えられており、改めて...
あとは、u(x,t) の式に代入して解が得られます。
** &color(green){[第12回]}; 2016.1.20 フーリエ変換と積分...
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** &color(green){[第13回]}; 2016.1.27 フーリエ変換の性質 ...
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//■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
//&color(black,red){&size(20){!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!...
** &color(green){[第14回]}; 2016.2.3 偏微分方程式への応用...
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*応用数学2B 2015年度 [#ff95d280]
** &color(green){[第1回]}; 2015.9.30 概要(ラプラス変換と...
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-Q: シラバスは配布しないのか?
-A: シラバスのホームページからダウンロードしてください。[...
-Q: 声をもっと張ってほしい
-A: すみません。改善します。
-Q: 広義積分の極限を取るときに値が収束するか等の証明はテ...
-A: 不要です。
** &color(green){[第2回]}; 2015.10.7 ラプラス変換の性質 [...
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-Q: L[sin t]を \[\sin t = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}\] ...
-A: どちらも、s の実部が正、となります。s > i は正しくは...
-Q: \[e^{\alpha t} \sin \omega t \] の負に注意?
-A: 話がこの部分に進んだとき、その前の部分で話すつもりだ...
\[ \sin (-\omega t) = - \sin \omega t, \quad \cos(-\omega...
が、そのラプラス変換
\[ {\cal L}\left[\sin ((-\omega) t)\right] = \frac{(-\ome...
\[ {\cal L}\left[\cos ((-\omega) t)\right] = \frac{s}{s^2...
を介しても理解できる、ということです。
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-Q: 逆ラプラス変換時に、留数和による方法は使っても大丈夫...
-A: 大丈夫です。
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-Q: 部分分数展開の分母からどのようにおいていいかわからな...
-A: 説明だけして具体的に式を書かなかったため、理解しにく...
以下、はしょった部分を補足します。足りない場合はまた聞い...
-- まず、例題15(1)でなぜ
\[
\frac{s}{(s+2)(s+3)(s+4)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3}...
\]
とおくか。そもそも、上式左辺はかけ算で、右辺は足し算です...
次に、左辺から右辺をどう構成するかについてですが、左辺の...
-- では、例題15(2)の場合はどうか。
\[
\frac{1}{(s+1)^2(s-3)} = \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s-3}
\]
とおけば十分ではないか?左辺も右辺も、s = -1, 3 を共通の...
\[
a(s-3)+b(s+1)^2 = bs^2 + (2b+a)s + (b -3a)
\]
という特殊な形をしていれば、
\[
\frac{bs^2+(2b+a)s + (b-3a)}{(s+1)^2(s-3)} =
\frac{a(s-3)+b(s+1)^2}{(s+1)^2(s-3)}
\]
\[
\frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s-3} = \frac{A(s-3)+B(s+1)^2...
\]
より、A = a, B = b と定まりますが)。実際、今の例では分子...
-- 例題15(1) で分子が s^3 の場合:定数項が必要です。これ...
\[
\frac{s^3}{(s+2)(s+3)(s+4)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+...
\]
とおけます。実際、
\begin{eqnarray}
(上式右辺)&=& \frac{A(s+3)(s+4) + B(s+2)(s+4) + C(s+2)(...
&=& \frac{A(s^2 + 7s + 12) + B(s^2 + 6s + 8) + C(s^2 + 5s...
&=& \frac{D s^3 + (A+B+C+9D)s^2 + (7A+6B+5C+26D)s + (12A+...
\end{eqnarray}
となって、D=1 となります(逆に言えば、D=0では、s^3 を表せ...
残りの A, B, C は、s^2, s^1, s^0 の係数が全て 0 となるよ...
今の例のように分子多項式が 3 次の場合には、その係数を表す...
より一般的に、分子が定数 a_i を持つ任意の三次多項式
\[
a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0
\]
の場合には、
\[
\frac{a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0}{(s+2)(s+3)(s+4)} =
\frac{D s^3 + (A+B+C+9D)s^2 + (7A+6B+5C+26D)s + (12A+8B+6...
\]
となり、s^3, s^2, s^1, s^0 の各係数が両辺で等しくなるよう...
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□1 の黒板にδ(t)とe^{-t}のグラフと、以下追記(写真取り忘れ...
インパルス応答 ... t=0の瞬間の入力による、時刻tにおける...
-Q: 丸4の重みが分からなかった
-A: 説明がイマイチでした。説明したかったことは次のことで...
-- 積分の中身において、\[ e^{-(t - \tau)} \] は、\[ x(\ta...
y(t)を定めるためには x(t) の方が x(0) よりも重視される(x...
-- 一般の H(s) の場合、x(0) が時間 t の経過とともにどうな...
なお、これは説明しませんでしたが、H(s) = 1/s の場合には、...
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-Q: 最後のところを詳しく説明してほしい
-A: 一番最後に説明した、簡単な方法、のことだとして以下回...
まず、奇関数 f(x) のフーリエ級数展開は、
\[
f(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\frac{n\pi x}{l}
\]
と書けます。l = 2 に注意すると、練習問題1.5の f(x) は
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& 5\sin 2\pi x - 3\sin 5\pi x \\
&=& 5\sin \frac{4\pi x}{2} -3\sin\frac{10\pi x}{2}
\end{eqnarray*}
となります。つまり、フーリエ係数は n = 4, 10 のときだけ非...
\[
b_4 = 5, \quad b_{10} = -3
\]
であることがわかります。
(f(x) はもともとフーリエ級数の形で与えられており、改めて...
あとは、u(x,t) の式に代入して解が得られます。
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** &color(green){[第14回]}; 2016.2.3 偏微分方程式への応用...
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