授業/動的システムの解析と制御2016
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[[授業]]
担当:小林、TA:M1永井
*第1回(2016.11.4) 概要〜第1章 システムを状態方程式で記...
&color(blue,orange){この授業の目的:与えられた物理系に対...
- シラバス &ref(syllabus.pdf);
- 成績の評価方法と評価項目:レポート(36% = 6点×6回=36点)...
-教科書:[[「演習で学ぶ現代制御理論」(森 泰親 著、森北出...
- 古典制御と現代制御の違い(長所と短所)
- 伝達関数と状態空間表現の関係(簡単な運動方程式を例に)
#ref(2016.11.04-1.jpg,left,noimg,板書1)
#ref(2016.11.04-2.jpg,left,noimg,板書2)
#ref(2016.11.04-3.jpg,left,noimg,板書3)
#ref(2016.11.04-4.JPG,left,noimg,板書4)
-Q: □5の一般の場合にでてくるIとは何ですか?
-A: 単位行列です。
-Q: □6の例の導出がよくわからなかった。
-A: この前まではわかっているとすると、伝達関数行列の式
\[ C(sI - A)^{-1} B \]
に、わかっている行列の中身を代入するのは良いと思います。
あとは、(sI-A) の逆行列の計算でしょうか。2×2 の逆行列は良...
覚えておくと良いと思います。
つまり、
\[ \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \r...
です(実際にもとの行列とかければ単位行列となることから逆...
-Q:
\[ \left\{\begin{array}{l} \dot x = A x + B u \\ y = C x ...
の A, B, C の求め方がいまいち理解できなかった。
-A: 与えられた伝達関数に対応する行列 A, B, C が予めわかっ...
なぜ行列 A, B, C が予めそのようになるのか?という質問の場...
-Q: よくわからなかった
-A: できれば、わからない箇所がでてきた時点で指摘してもら...
-Q:
\[ \dot{\tilde x} T A T^{-1} \mbox{ or } T^T \]
どちらでしたか。座った位置からはっきりしませんでした。
-A: 前者(Tの逆行列)です。字が少し小さかったかもしれませ...
#ref(report1.pdf,left,レポート1回目);
*第2回(2016.11.8)(11/11休講分の補講)第2章 システムの応...
- 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に...
- 古典制御における安定性:インパルス応答がt→∞で0に収束する
- ⇔ 現代制御における安定性:任意の初期値に対する応答がt→∞...
- ⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
- ⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
- 復習:たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベク...
- 状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換
#ref(2016.11.08-1.jpg,left,noimg,板書1);
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-Q:
\[ \left\{ \begin{array}{l} \dot x = Ax + Bu \\ y = C x \...
をラプラス変換・逆変換して初期値応答が0に収束するというこ...
-A: ラプラス変換は、初期値応答を求めるために使用しただけ...
答になっていない場合はまた聞いてください。
-Q: なぜラプラス変換&逆ラプラス変換したのでしょうか?
-A: 微分方程式を解くために用いました。他の手法でも良いで...
-Q: いきなり出てきた a < 0 が分かりません。aとは何ですか?
-A: 行列Aがスカラの場合を A = a(実数)としました。a < 0 ...
-Q: 矢印でいったりきたりするのが少し分かりにくかった。
-A: 黒板の番号が先に進んだにもかかわらず、書く手間の都合...
-Q:
\[ {}^\forall x(0) \]
は何ですか?
-A: 全ての x(0) という意味です。
#ref(report2.pdf,left,レポート2回目);
*第3回(2016.11.18) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件),...
-解析から設計へ、出力フィードバック(難)→状態フィードバッ...
-閉ループ系のA行列 = A - BF
-A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
-例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)
-可制御性の定義
-可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)
-レポート対策
#ref(2016.11.18-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2016.11.18-2.jpg,left,noimg,板書2);
#ref(2016.11.18-3.jpg,left,noimg,板書3);
#ref(2016.11.18-4.jpg,left,noimg,板書4);
-Q: レポート課題1について、左向きに外力fが働いているので...
\[ M \ddot x = -f + (K_1 + K_2)x + D \dot x \]
と書きましたが、間違いでした。なぜ
\[ M \ddot x = -f - (K_1 + K_2)x - D \dot x \]
になるのでしょうか。
-A: 「左向き」の外力を -f と表すのは、右向きに変位xの正方...
\[ -(K_1 + K_2)x \]
となります。速度の項も同様です。
-Q: 例1''の問題は、固有値を求める |λI-(A-BF)|のやり方でも...
-A: 不可制御であることが示せるか?という意味ですね。示せ...
\[ |\lambda I - (A - BF) | = ... = \lambda^2 + (f_1 + f_2...
となり、パッと見、二つの係数を f1 と f2 で自由に調整でき...
つまり、二つの係数を
\[ a_1 = f_1 + f_2 - 2, \quad a_0 = 1 - f_1 - f_2 \]
とおくと、
\[ f_1 + f_2 = a_1 + 2 = 1 - a_0 \]
が成り立たなくてはならず、任意に与えられた a0, a1 を f1, ...
-Q: 授業の複習(復習:小林 註)のために教科書を買いたいの...
-A: このページの上の方に、教科書のリンクが張ってあります...
-Q: 状態フィードバックと出力フィードバック線図の違いが分...
-A: コントローラが、出力 y を使うか、それとも状態 x を使...
両者には
\[ y = C x \]
の関係があるので、コントローラ側で状態 x が利用できるなら...
#ref(report3.pdf,left,レポート3回目);
*第4回(2016.11.25) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と...
- 簡単な例題(a, x, b, u, f がすべてスカラ、b > 0)... 最...
- (i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、...
- 極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい
- 最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる
- 最適レギュレータ問題と、その解(リカッチ方程式、P>0)
- 最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... ...
- *1:f の二次方程式とリカッチ方程式の関係
- *2:閉ループ系の安定性と P > 0 の関係
- *3:Jの最小値を求める
- q を大きくする((i) を重視する)と、|a-bf| が大きくなる
#ref(2016.11.25-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2016.11.25-2.jpg,left,noimg,板書2);
#ref(2016.11.25-3.jpg,left,noimg,板書3);
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-Q: 授業では「リカッチ代数方程式」だったのですが私が他所...
-A: 良いです。私も学生の頃、両方の例に触れて混乱しました...
-Q: なぜ \[ \frac{dJ}{df} \] とする必要があるのですか?
-A: J を最小化する f を求めるためです。授業で扱った簡単な...
-Q: □5 で \[ J = \frac{(q+rf^2)x^2(0)}{4(bf-a)} \] とした...
□6 で \[ \frac{dJ}{df} = \frac{d}{df}\frac{q+rf^2}{bf-a} ...
-A: まず、正しくは(板書の通り)
\[ \frac{dJ}{df} = 0 \Leftrightarrow \frac{d}{df}\frac{q+...
ですので注意してください(両向きの矢印は、両側に書かれた...
授業中に質問してもらえると、周りの人も助かると思います。
#ref(report4.pdf,left,レポート4回目);
*第5回(2016.12.2) 第6章つづき〜 §6.2 重み行列と正定・半正...
- 行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0
- (半)正定行列の定義
- 対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6), 対称行列の固有...
- 最適制御⇒安定かつJが最小 &ref(授業/動的システムの解析と...
- 最適レギュレータの設計(演習6.3,6.4):リカッチ方程式の解...
#ref(2016.12.02-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2016.12.02-2.jpg,left,noimg,板書2);
#ref(2016.12.02-3.jpg,left,noimg,板書3);
#ref(2016.12.02-4.jpg,left,noimg,板書4);
#ref(2016.12.02-5.jpg,left,noimg,板書5);
-Q: □3の
\[ 2(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2) = 2 \left( \left(x_1 + \fra...
がわからないです。
-A x1 と x2 の積の項を含まない表現を得るために(この説明...
\[ x_1^2 + x_1 x_2 = \left(x_1 + \frac{1}{2} x_2 \right)^...
と平方完成しています。
\[ x_2^2 + x_1 x_2 = \left(x_2 + \frac{1}{2} x_1 \right)^...
でも良いです。
#ref(report5.pdf,left,レポート5回目);
*第6回(2016.12.9) §9.1状態観測器の構造 [#m034a369]
- 状態xが使えない場合
- (方法1) 状態の代わりに出力yを使う = 静的出力フィードバ...
- 別の方法:状態を推定して、それをxの代わりに使う
- 状態観測器の定義:t→∞で誤差 x(t) の推定誤差が0となる
- (方法2) 状態観測器? (演習9.1) + 状態フィードバック ⇒ ダメ
- (方法3) 状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
- 状態観測器を作る((9.3)式の導出、方法2は状態観測器に...
- 可観測性(可制御性との関係)
- 演習9.3':A - L C を安定(固有値の実部がすべて負)とす...
#ref(2016.12.09-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2016.12.09-2.jpg,left,noimg,板書2);
#ref(2016.12.09-3.jpg,left,noimg,板書3);
#ref(2016.12.09-4.jpg,left,noimg,板書4);
-Q: 課題の点数が毎回3点で成績がとても不安です。
-A: しっかり復習しているなら(次に同じ問題に正答できるな...
#ref(report6.pdf,left,レポート6回目);
*第7回(2016.12.16) §9.3併合系の固有値 [#m27ece9a]
- 方法3で安定化できる理由:閉ループ系の固有値 = A - BF と...
- 方法3が評価関数Jの最小値に与える影響?
- A-LC の固有値の実部が-∞に近づくように L を設定すると何...
#ref(2016.12.16-1.jpg,left,noimg,板書1);
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#ref(2016.12.16-4.jpg,left,noimg,板書4);
-Q: 古典制御との関連の部分において
\[ -l(\hat x - x) \]
ではなく
\[ -l(\hat x - y) \]
とたのはなぜですか。
-A: c = 1 で、y = x の場合を考えたので、どちらも同じです。
が、コントローラの伝達関数を求めるため(Y(s)とU(s)の比を...
中間変数の x を早めに消去しました。
*第8回(2016.12.23) 期末テスト, 授業アンケート実施 [#x120e...
- 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
- 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ
- 試験時間: 85分
- 授業アンケート(本科目の前半・後半をまとめて)
&color(red){&size(25){2016.12.27 前半・後半を含めた総合成...
終了行:
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担当:小林、TA:M1永井
*第1回(2016.11.4) 概要〜第1章 システムを状態方程式で記...
&color(blue,orange){この授業の目的:与えられた物理系に対...
- シラバス &ref(syllabus.pdf);
- 成績の評価方法と評価項目:レポート(36% = 6点×6回=36点)...
-教科書:[[「演習で学ぶ現代制御理論」(森 泰親 著、森北出...
- 古典制御と現代制御の違い(長所と短所)
- 伝達関数と状態空間表現の関係(簡単な運動方程式を例に)
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-Q: □5の一般の場合にでてくるIとは何ですか?
-A: 単位行列です。
-Q: □6の例の導出がよくわからなかった。
-A: この前まではわかっているとすると、伝達関数行列の式
\[ C(sI - A)^{-1} B \]
に、わかっている行列の中身を代入するのは良いと思います。
あとは、(sI-A) の逆行列の計算でしょうか。2×2 の逆行列は良...
覚えておくと良いと思います。
つまり、
\[ \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \r...
です(実際にもとの行列とかければ単位行列となることから逆...
-Q:
\[ \left\{\begin{array}{l} \dot x = A x + B u \\ y = C x ...
の A, B, C の求め方がいまいち理解できなかった。
-A: 与えられた伝達関数に対応する行列 A, B, C が予めわかっ...
なぜ行列 A, B, C が予めそのようになるのか?という質問の場...
-Q: よくわからなかった
-A: できれば、わからない箇所がでてきた時点で指摘してもら...
-Q:
\[ \dot{\tilde x} T A T^{-1} \mbox{ or } T^T \]
どちらでしたか。座った位置からはっきりしませんでした。
-A: 前者(Tの逆行列)です。字が少し小さかったかもしれませ...
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*第2回(2016.11.8)(11/11休講分の補講)第2章 システムの応...
- 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に...
- 古典制御における安定性:インパルス応答がt→∞で0に収束する
- ⇔ 現代制御における安定性:任意の初期値に対する応答がt→∞...
- ⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
- ⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
- 復習:たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベク...
- 状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換
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-Q:
\[ \left\{ \begin{array}{l} \dot x = Ax + Bu \\ y = C x \...
をラプラス変換・逆変換して初期値応答が0に収束するというこ...
-A: ラプラス変換は、初期値応答を求めるために使用しただけ...
答になっていない場合はまた聞いてください。
-Q: なぜラプラス変換&逆ラプラス変換したのでしょうか?
-A: 微分方程式を解くために用いました。他の手法でも良いで...
-Q: いきなり出てきた a < 0 が分かりません。aとは何ですか?
-A: 行列Aがスカラの場合を A = a(実数)としました。a < 0 ...
-Q: 矢印でいったりきたりするのが少し分かりにくかった。
-A: 黒板の番号が先に進んだにもかかわらず、書く手間の都合...
-Q:
\[ {}^\forall x(0) \]
は何ですか?
-A: 全ての x(0) という意味です。
#ref(report2.pdf,left,レポート2回目);
*第3回(2016.11.18) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件),...
-解析から設計へ、出力フィードバック(難)→状態フィードバッ...
-閉ループ系のA行列 = A - BF
-A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
-例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)
-可制御性の定義
-可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)
-レポート対策
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-Q: レポート課題1について、左向きに外力fが働いているので...
\[ M \ddot x = -f + (K_1 + K_2)x + D \dot x \]
と書きましたが、間違いでした。なぜ
\[ M \ddot x = -f - (K_1 + K_2)x - D \dot x \]
になるのでしょうか。
-A: 「左向き」の外力を -f と表すのは、右向きに変位xの正方...
\[ -(K_1 + K_2)x \]
となります。速度の項も同様です。
-Q: 例1''の問題は、固有値を求める |λI-(A-BF)|のやり方でも...
-A: 不可制御であることが示せるか?という意味ですね。示せ...
\[ |\lambda I - (A - BF) | = ... = \lambda^2 + (f_1 + f_2...
となり、パッと見、二つの係数を f1 と f2 で自由に調整でき...
つまり、二つの係数を
\[ a_1 = f_1 + f_2 - 2, \quad a_0 = 1 - f_1 - f_2 \]
とおくと、
\[ f_1 + f_2 = a_1 + 2 = 1 - a_0 \]
が成り立たなくてはならず、任意に与えられた a0, a1 を f1, ...
-Q: 授業の複習(復習:小林 註)のために教科書を買いたいの...
-A: このページの上の方に、教科書のリンクが張ってあります...
-Q: 状態フィードバックと出力フィードバック線図の違いが分...
-A: コントローラが、出力 y を使うか、それとも状態 x を使...
両者には
\[ y = C x \]
の関係があるので、コントローラ側で状態 x が利用できるなら...
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*第4回(2016.11.25) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と...
- 簡単な例題(a, x, b, u, f がすべてスカラ、b > 0)... 最...
- (i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、...
- 極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい
- 最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる
- 最適レギュレータ問題と、その解(リカッチ方程式、P>0)
- 最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... ...
- *1:f の二次方程式とリカッチ方程式の関係
- *2:閉ループ系の安定性と P > 0 の関係
- *3:Jの最小値を求める
- q を大きくする((i) を重視する)と、|a-bf| が大きくなる
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-Q: 授業では「リカッチ代数方程式」だったのですが私が他所...
-A: 良いです。私も学生の頃、両方の例に触れて混乱しました...
-Q: なぜ \[ \frac{dJ}{df} \] とする必要があるのですか?
-A: J を最小化する f を求めるためです。授業で扱った簡単な...
-Q: □5 で \[ J = \frac{(q+rf^2)x^2(0)}{4(bf-a)} \] とした...
□6 で \[ \frac{dJ}{df} = \frac{d}{df}\frac{q+rf^2}{bf-a} ...
-A: まず、正しくは(板書の通り)
\[ \frac{dJ}{df} = 0 \Leftrightarrow \frac{d}{df}\frac{q+...
ですので注意してください(両向きの矢印は、両側に書かれた...
授業中に質問してもらえると、周りの人も助かると思います。
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*第5回(2016.12.2) 第6章つづき〜 §6.2 重み行列と正定・半正...
- 行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0
- (半)正定行列の定義
- 対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6), 対称行列の固有...
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-Q: □3の
\[ 2(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2) = 2 \left( \left(x_1 + \fra...
がわからないです。
-A x1 と x2 の積の項を含まない表現を得るために(この説明...
\[ x_1^2 + x_1 x_2 = \left(x_1 + \frac{1}{2} x_2 \right)^...
と平方完成しています。
\[ x_2^2 + x_1 x_2 = \left(x_2 + \frac{1}{2} x_1 \right)^...
でも良いです。
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*第6回(2016.12.9) §9.1状態観測器の構造 [#m034a369]
- 状態xが使えない場合
- (方法1) 状態の代わりに出力yを使う = 静的出力フィードバ...
- 別の方法:状態を推定して、それをxの代わりに使う
- 状態観測器の定義:t→∞で誤差 x(t) の推定誤差が0となる
- (方法2) 状態観測器? (演習9.1) + 状態フィードバック ⇒ ダメ
- (方法3) 状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
- 状態観測器を作る((9.3)式の導出、方法2は状態観測器に...
- 可観測性(可制御性との関係)
- 演習9.3':A - L C を安定(固有値の実部がすべて負)とす...
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-Q: 課題の点数が毎回3点で成績がとても不安です。
-A: しっかり復習しているなら(次に同じ問題に正答できるな...
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*第7回(2016.12.16) §9.3併合系の固有値 [#m27ece9a]
- 方法3で安定化できる理由:閉ループ系の固有値 = A - BF と...
- 方法3が評価関数Jの最小値に与える影響?
- A-LC の固有値の実部が-∞に近づくように L を設定すると何...
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-Q: 古典制御との関連の部分において
\[ -l(\hat x - x) \]
ではなく
\[ -l(\hat x - y) \]
とたのはなぜですか。
-A: c = 1 で、y = x の場合を考えたので、どちらも同じです。
が、コントローラの伝達関数を求めるため(Y(s)とU(s)の比を...
中間変数の x を早めに消去しました。
*第8回(2016.12.23) 期末テスト, 授業アンケート実施 [#x120e...
- 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
- 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ
- 試験時間: 85分
- 授業アンケート(本科目の前半・後半をまとめて)
&color(red){&size(25){2016.12.27 前半・後半を含めた総合成...
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