授業/動的システムの解析と制御2017
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[[授業]]
担当:小林、TA:M1岩本
*第1回(2017.11.10) 概要〜第1章 システムを状態方程式で記...
&color(blue,orange){この授業の目的:与えられた物理系に対...
- シラバス &ref(syllabus.pdf);
- 成績の評価方法と評価項目:レポート(36% = 6点×6回=36点)...
-教科書:[[「演習で学ぶ現代制御理論」(森 泰親 著、森北出...
- 古典制御と現代制御の違い(長所と短所)
- 伝達関数と状態空間表現の関係(簡単な運動方程式を例に)
#ref(2017.11.10-1.jpg,left,noimg,板書1)
#ref(2017.11.10-2.jpg,left,noimg,板書2)
#ref(2017.11.10-3.jpg,left,noimg,板書3)
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#ref(2017.11.10-5.jpg,left,noimg,板書5)
#ref(2017.11.10-6.jpg,left,noimg,板書6)
-Q: 3次元のTFをSSRに変換するときSSRのxはどのようにとって...
-A: &ref(授業/動的システムの解析と制御2015/ctrbf.pdf);を...
\[ x = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{arr...
とおくと、
\[ x_2 = \dot x_1, \quad x_3 = \dot x_2 = \ddot x_1 \]
より
\[ x = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \dot x_1 \\ \ddot x...
となります。また、入力 u との関係は、
\[ \dot x_3 = - a_0 x_1 - a_1 x_2 - a_2 x_3 + u \]
すなわち
\[ x_1^{(3)} = -a_0 x_1 - a_1 \dot x_1 - a_2 \ddot x_1 + ...
です。伝達関数の方が分かり易いと思いますが、上式をラプラ...
\[ (s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0)X_1(s) = U(s) \]
より
\[ \frac{X_1(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^3 + a_2 s^2 + a_1 s +...
の関係が成り立ちます。わからなければまた聞いてください。
-Q: 文字が小さかった。
-Q: 文字が小さい(特にそえ字)
-A: 履修者が少ないため、できるだけ前の方に着席願います。...
#ref(report1.pdf,left,レポート1回目);
*第2回(2017.11.17)第2章 システムの応答と安定性 [#lc7f1bd1]
- 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に...
- 古典制御における安定性:インパルス応答がt→∞で0に収束する
- ⇔ 現代制御における安定性:任意の初期値に対する応答がt→∞...
- ⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
- ⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
- 復習:たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベク...
- 状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換
#ref(2017.11.17-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2017.11.17-2.jpg,left,noimg,板書2);
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#ref(2017.11.17-5.jpg,left,noimg,板書5);
#ref(2017.11.17-6.jpg,left,noimg,板書6);
-Q: これ
\[ \forall \]
が何かわかりませんでした
-A: 全ての、です。つまり、
\[ {}^\forall x(0) \]
は、全ての x(0) に対して、という意味になります。
-Q: u(t) = δ(t) とすることで x(0) を任意に指定できると同...
y(0) = cb なら y = cx より x(0) = b のときしか考えられな...
-A: 入力信号 u(t) として δ関数を許せば、x(0) が零じゃない...
-Q: x(0) が Aの固有ベクトルでないときは初期値応答の収束条...
-A: x(0) がどのように与えられたとしてもその応答が 0 に収...
各固有ベクトルが別々に入力されたときの応答の線形結合で表...
さらに言えば、固有ベクトルではない x(0) が存在して、その...
必ず実部が非負の固有値が少なくとも1個存在することが示され...
上記二つの質問はとても良い質問ですので、できれば授業中に...
-Q: 古典制御の安定性の条件。
伝達関数の「全ての」極の実部が負であるときですよね?
-A: その通りです。
#ref(report2.pdf,left,レポート2回目);
*第3回(2017.11.24) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件),...
-解析から設計へ、出力フィードバック(難)→状態フィードバッ...
-閉ループ系のA行列 = A - BF
-A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
-例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)
-可制御性の定義
-可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)
-レポート対策
#ref(2017.11.24-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2017.11.24-2.jpg,left,noimg,板書2);
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#ref(2017.11.24-6.jpg,left,noimg,板書6);
#ref(report3.pdf,left,レポート3回目);
*第4回(2017.12.01) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と...
- 簡単な例題(a, x, b, u, f がすべてスカラ、b > 0)... 最...
- (i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、...
- 極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい
- 最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる
- 最適レギュレータ問題と、その解(リカッチ方程式、P>0)
- 最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... ...
- *1:f の二次方程式とリカッチ方程式の関係
- *2:閉ループ系の安定性と P > 0 の関係
- *3:Jの最小値を求める
- r を大きくする((ii) を重視する)と、|a-bf| が小さくなる
#ref(2017.12.01-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2017.12.01-2.jpg,left,noimg,板書2);
#ref(2017.12.01-3.jpg,left,noimg,板書3);
#ref(2017.12.01-4.jpg,left,noimg,板書4);
... □7でf中の±の符号の上側(+)を選んでいますが、b < 0 ...
#ref(2017.12.01-5.jpg,left,noimg,板書5);
-Q: \[
{}^\exists F
\]
の
\[ \exists \]
の意味がわからなかった。
-A: 存在する、です。
-Q:
\[ \dot x = (A - BF)x
\]
\[\downarrow \quad \mbox{状態遷移行列}
\]
\[ x(t) = x(0)e^{(A-BF)t} \]
x(t)を使うタイミングが難しいですが、何かパターンはありま...
-A: 今日やった、簡単なスカラの例の場合は、fに依存する形で...
そのために x(t) を使っています。「タイミングが難しい」の...
-Q: rが小さいほど、たくさんエネルギーを使う。qが小さいと...
-A: qが小さいと、収束性が悪く(収束が遅く)なります。
-Q: (講義の際の疑問:b の符号によらず、閉ループ系が安定と...
-A: 講義中に混乱してすみませんでした。結論から言うと、黒...
\[ f = \frac{a}{b} + \sqrt{\frac{a^2}{b^2} + \frac{1}{r}}
\]
と選んでいましたが、これが間違っていました。
つまり、
\[ a - bf = \mp b \sqrt{\frac{a^2}{b^2} + \frac{1}{r}} =
\left\{
\begin{array}{c}
\mp \sqrt{a^2 + \frac{b^2}{r}} \quad (b > 0) \\
\pm \sqrt{a^2 + \frac{b^2}{r}} \quad (b < 0)
\end{array}\right.
\]
が正しいです(b を根号の中に入れるときに符号を失念しまし...
\[ b =
\left\{
\begin{array}{c}
\sqrt{b^2} \quad (b > 0) \\ -\sqrt{b^2} \quad (b < 0)
\end{array}\right.
\]
です)。
すなわち、b < 0 の場合は、閉ループ系を安定化する解fは、±...
\[
f = \frac{a}{b} - \sqrt{\frac{a^2}{b^2} + \frac{1}{r}}
\]
としなくてはならず、このとき f < 0 となります。よって
b の符号によらず、常に p > 0 が成り立ちます。単純ミスに気...
#ref(report4.pdf,left,レポート4回目);
*第5回(2017.12.8) 第6章つづき〜 §6.2 重み行列と正定・半正...
- 行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0
- (半)正定行列の定義
- 対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6), 対称行列の固有...
- 最適制御⇒安定かつJが最小 &ref(授業/動的システムの解析と...
- 最適レギュレータの設計(演習6.3,6.4):リカッチ方程式の解...
#ref(2017.12.08-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2017.12.08-2.jpg,left,noimg,板書2);
#ref(2017.12.08-3.jpg,left,noimg,板書3);
#ref(2017.12.08-4.jpg,left,noimg,板書4);
#ref(2017.12.08-5.jpg,left,noimg,板書5);
-Q: □8のレポート対策、[(左辺)=]の左辺とはどれのことですか?
リカッチ方程式の左辺(右辺の0じゃない方)です。
左辺を計算してもし0になれば、左辺=右辺、つまりリカッチ方...
授業中に指摘してもらえると助かります。
#ref(report5.pdf,left,レポート5回目);
*第6回(2017.12.15) §9.1状態観測器の構造 [#ua91d046]
- 状態xが使えない場合
- (方法1) 状態の代わりに出力yを使う = 静的出力フィードバ...
- 別の方法:状態を推定して、それをxの代わりに使う
- 状態観測器の定義:t→∞で誤差 x(t) の推定誤差が0となる
- (方法2) 状態観測器? (演習9.1) + 状態フィードバック ⇒ ダメ
- (方法3) 状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
- 状態観測器を作る((9.3)式の導出、方法2は状態観測器に...
- 可観測性(可制御性との関係)
- 演習9.3':A - L C を安定(固有値の実部がすべて負)とす...
#ref(2017.12.15-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2017.12.15-2.jpg,left,noimg,板書2);
#ref(2017.12.15-3.jpg,left,noimg,板書3);
#ref(2017.12.15-4.jpg,left,noimg,板書4);
-Q: 第6回のレポート返却はいつされますか。
-A: 21日(木)10:00に返却予定です。
-Q: 制御ではA-BFの固有値の実部を負に大きくとると収束性が...
-A: 次回説明する予定ですが、推定誤差の収束性が上がります...
#ref(report6.pdf,left,レポート6回目);
*第7回(2017.12.19) §9.3併合系の固有値 [#eb68be2d]
- 方法3で安定化できる理由:閉ループ系の固有値 = A - BF と...
- 方法3が評価関数Jの最小値に与える影響?
- A-LC の固有値の実部が-∞に近づくように L を設定すると何...
#ref(2017.12.19-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2017.12.19-2.jpg,left,noimg,板書2);
#ref(2017.12.19-3.jpg,left,noimg,板書3);
#ref(2017.12.19-4.jpg,left,noimg,板書4);
-Q: \[ \left[\begin{array}{cc} I & -I \\ 0 & I \end{array...
\[I_2 \rightarrow\left[\begin{array}{cc}
\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \righ...
\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \righ...
\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \righ...
\end{array}
\right]
\]
-A: その通りです。
なお、上の4×4の行列は、
\[ \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0...
とも書きます。
-Q: (上の問のつづき)
計算は
\[
\left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array} \rig...
\]
として良い?
-A: あたかも I2 が 1 であるかのように、という意味と思いま...
ある行列 M にそのサイズの単位行列をかけるのと、行列Mのス...
厳密には、ブロック行列に対して積が特別に定義されるわけで...
\[
\left[ \begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{2...
\left[ \begin{array}{cc} N_{11} & N_{12} \\ N_{21} & N_{2...
=
\left[ \begin{array}{cc} M_{11} N_{11} + M_{12}N_{21} & M...
M_{21} N_{11} + M_{22}N_{21} & M_{21} N_{12} + M_{22} N_{...
\]
が導かれます(要素毎に展開すると確認できます)。
-Q: レポ5から よく
\[ PA = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & 0 \end{arra...
\[ A^T P = \left[ \begin{array}{cc} a & 0 \\ b & 0 \end{a...
\]
となる。
\[
PA = (A^T P)^T
\]
の理由?
-A: まず、任意の行列 M と N に対して、
\[ (M N)^T = N^T M^T \]
が成り立ちます。ただし、積 M N が定義できるように、M の列...
これを認めれば、
\[ (A^T P)^T = P^T A \]
となります。ここで、授業で出て来た行列 P は対称行列なので、
さらに、
\[ (A^T P)^T = P^T A = P A \]
が成り立ち、質問の式が成り立ちます。
*第8回(2017.12.22) 期末テスト, 授業アンケート実施 [#d6d97...
- 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
- 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ
- 試験時間: 85分
- 授業アンケート(本科目の前半・後半をまとめて)
//■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
//&color(black,red){&size(20){!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!...
&color(red){&size(25){2017.12.24 前半・後半を含めた総合成...
終了行:
[[授業]]
担当:小林、TA:M1岩本
*第1回(2017.11.10) 概要〜第1章 システムを状態方程式で記...
&color(blue,orange){この授業の目的:与えられた物理系に対...
- シラバス &ref(syllabus.pdf);
- 成績の評価方法と評価項目:レポート(36% = 6点×6回=36点)...
-教科書:[[「演習で学ぶ現代制御理論」(森 泰親 著、森北出...
- 古典制御と現代制御の違い(長所と短所)
- 伝達関数と状態空間表現の関係(簡単な運動方程式を例に)
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-Q: 3次元のTFをSSRに変換するときSSRのxはどのようにとって...
-A: &ref(授業/動的システムの解析と制御2015/ctrbf.pdf);を...
\[ x = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{arr...
とおくと、
\[ x_2 = \dot x_1, \quad x_3 = \dot x_2 = \ddot x_1 \]
より
\[ x = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \dot x_1 \\ \ddot x...
となります。また、入力 u との関係は、
\[ \dot x_3 = - a_0 x_1 - a_1 x_2 - a_2 x_3 + u \]
すなわち
\[ x_1^{(3)} = -a_0 x_1 - a_1 \dot x_1 - a_2 \ddot x_1 + ...
です。伝達関数の方が分かり易いと思いますが、上式をラプラ...
\[ (s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0)X_1(s) = U(s) \]
より
\[ \frac{X_1(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^3 + a_2 s^2 + a_1 s +...
の関係が成り立ちます。わからなければまた聞いてください。
-Q: 文字が小さかった。
-Q: 文字が小さい(特にそえ字)
-A: 履修者が少ないため、できるだけ前の方に着席願います。...
#ref(report1.pdf,left,レポート1回目);
*第2回(2017.11.17)第2章 システムの応答と安定性 [#lc7f1bd1]
- 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に...
- 古典制御における安定性:インパルス応答がt→∞で0に収束する
- ⇔ 現代制御における安定性:任意の初期値に対する応答がt→∞...
- ⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
- ⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
- 復習:たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベク...
- 状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換
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-Q: これ
\[ \forall \]
が何かわかりませんでした
-A: 全ての、です。つまり、
\[ {}^\forall x(0) \]
は、全ての x(0) に対して、という意味になります。
-Q: u(t) = δ(t) とすることで x(0) を任意に指定できると同...
y(0) = cb なら y = cx より x(0) = b のときしか考えられな...
-A: 入力信号 u(t) として δ関数を許せば、x(0) が零じゃない...
-Q: x(0) が Aの固有ベクトルでないときは初期値応答の収束条...
-A: x(0) がどのように与えられたとしてもその応答が 0 に収...
各固有ベクトルが別々に入力されたときの応答の線形結合で表...
さらに言えば、固有ベクトルではない x(0) が存在して、その...
必ず実部が非負の固有値が少なくとも1個存在することが示され...
上記二つの質問はとても良い質問ですので、できれば授業中に...
-Q: 古典制御の安定性の条件。
伝達関数の「全ての」極の実部が負であるときですよね?
-A: その通りです。
#ref(report2.pdf,left,レポート2回目);
*第3回(2017.11.24) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件),...
-解析から設計へ、出力フィードバック(難)→状態フィードバッ...
-閉ループ系のA行列 = A - BF
-A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
-例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)
-可制御性の定義
-可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)
-レポート対策
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*第4回(2017.12.01) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と...
- 簡単な例題(a, x, b, u, f がすべてスカラ、b > 0)... 最...
- (i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、...
- 極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい
- 最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる
- 最適レギュレータ問題と、その解(リカッチ方程式、P>0)
- 最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... ...
- *1:f の二次方程式とリカッチ方程式の関係
- *2:閉ループ系の安定性と P > 0 の関係
- *3:Jの最小値を求める
- r を大きくする((ii) を重視する)と、|a-bf| が小さくなる
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... □7でf中の±の符号の上側(+)を選んでいますが、b < 0 ...
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-Q: \[
{}^\exists F
\]
の
\[ \exists \]
の意味がわからなかった。
-A: 存在する、です。
-Q:
\[ \dot x = (A - BF)x
\]
\[\downarrow \quad \mbox{状態遷移行列}
\]
\[ x(t) = x(0)e^{(A-BF)t} \]
x(t)を使うタイミングが難しいですが、何かパターンはありま...
-A: 今日やった、簡単なスカラの例の場合は、fに依存する形で...
そのために x(t) を使っています。「タイミングが難しい」の...
-Q: rが小さいほど、たくさんエネルギーを使う。qが小さいと...
-A: qが小さいと、収束性が悪く(収束が遅く)なります。
-Q: (講義の際の疑問:b の符号によらず、閉ループ系が安定と...
-A: 講義中に混乱してすみませんでした。結論から言うと、黒...
\[ f = \frac{a}{b} + \sqrt{\frac{a^2}{b^2} + \frac{1}{r}}
\]
と選んでいましたが、これが間違っていました。
つまり、
\[ a - bf = \mp b \sqrt{\frac{a^2}{b^2} + \frac{1}{r}} =
\left\{
\begin{array}{c}
\mp \sqrt{a^2 + \frac{b^2}{r}} \quad (b > 0) \\
\pm \sqrt{a^2 + \frac{b^2}{r}} \quad (b < 0)
\end{array}\right.
\]
が正しいです(b を根号の中に入れるときに符号を失念しまし...
\[ b =
\left\{
\begin{array}{c}
\sqrt{b^2} \quad (b > 0) \\ -\sqrt{b^2} \quad (b < 0)
\end{array}\right.
\]
です)。
すなわち、b < 0 の場合は、閉ループ系を安定化する解fは、±...
\[
f = \frac{a}{b} - \sqrt{\frac{a^2}{b^2} + \frac{1}{r}}
\]
としなくてはならず、このとき f < 0 となります。よって
b の符号によらず、常に p > 0 が成り立ちます。単純ミスに気...
#ref(report4.pdf,left,レポート4回目);
*第5回(2017.12.8) 第6章つづき〜 §6.2 重み行列と正定・半正...
- 行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0
- (半)正定行列の定義
- 対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6), 対称行列の固有...
- 最適制御⇒安定かつJが最小 &ref(授業/動的システムの解析と...
- 最適レギュレータの設計(演習6.3,6.4):リカッチ方程式の解...
#ref(2017.12.08-1.jpg,left,noimg,板書1);
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-Q: □8のレポート対策、[(左辺)=]の左辺とはどれのことですか?
リカッチ方程式の左辺(右辺の0じゃない方)です。
左辺を計算してもし0になれば、左辺=右辺、つまりリカッチ方...
授業中に指摘してもらえると助かります。
#ref(report5.pdf,left,レポート5回目);
*第6回(2017.12.15) §9.1状態観測器の構造 [#ua91d046]
- 状態xが使えない場合
- (方法1) 状態の代わりに出力yを使う = 静的出力フィードバ...
- 別の方法:状態を推定して、それをxの代わりに使う
- 状態観測器の定義:t→∞で誤差 x(t) の推定誤差が0となる
- (方法2) 状態観測器? (演習9.1) + 状態フィードバック ⇒ ダメ
- (方法3) 状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
- 状態観測器を作る((9.3)式の導出、方法2は状態観測器に...
- 可観測性(可制御性との関係)
- 演習9.3':A - L C を安定(固有値の実部がすべて負)とす...
#ref(2017.12.15-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2017.12.15-2.jpg,left,noimg,板書2);
#ref(2017.12.15-3.jpg,left,noimg,板書3);
#ref(2017.12.15-4.jpg,left,noimg,板書4);
-Q: 第6回のレポート返却はいつされますか。
-A: 21日(木)10:00に返却予定です。
-Q: 制御ではA-BFの固有値の実部を負に大きくとると収束性が...
-A: 次回説明する予定ですが、推定誤差の収束性が上がります...
#ref(report6.pdf,left,レポート6回目);
*第7回(2017.12.19) §9.3併合系の固有値 [#eb68be2d]
- 方法3で安定化できる理由:閉ループ系の固有値 = A - BF と...
- 方法3が評価関数Jの最小値に与える影響?
- A-LC の固有値の実部が-∞に近づくように L を設定すると何...
#ref(2017.12.19-1.jpg,left,noimg,板書1);
#ref(2017.12.19-2.jpg,left,noimg,板書2);
#ref(2017.12.19-3.jpg,left,noimg,板書3);
#ref(2017.12.19-4.jpg,left,noimg,板書4);
-Q: \[ \left[\begin{array}{cc} I & -I \\ 0 & I \end{array...
\[I_2 \rightarrow\left[\begin{array}{cc}
\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \righ...
\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \righ...
\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \righ...
\end{array}
\right]
\]
-A: その通りです。
なお、上の4×4の行列は、
\[ \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0...
とも書きます。
-Q: (上の問のつづき)
計算は
\[
\left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array} \rig...
\]
として良い?
-A: あたかも I2 が 1 であるかのように、という意味と思いま...
ある行列 M にそのサイズの単位行列をかけるのと、行列Mのス...
厳密には、ブロック行列に対して積が特別に定義されるわけで...
\[
\left[ \begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{2...
\left[ \begin{array}{cc} N_{11} & N_{12} \\ N_{21} & N_{2...
=
\left[ \begin{array}{cc} M_{11} N_{11} + M_{12}N_{21} & M...
M_{21} N_{11} + M_{22}N_{21} & M_{21} N_{12} + M_{22} N_{...
\]
が導かれます(要素毎に展開すると確認できます)。
-Q: レポ5から よく
\[ PA = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & 0 \end{arra...
\[ A^T P = \left[ \begin{array}{cc} a & 0 \\ b & 0 \end{a...
\]
となる。
\[
PA = (A^T P)^T
\]
の理由?
-A: まず、任意の行列 M と N に対して、
\[ (M N)^T = N^T M^T \]
が成り立ちます。ただし、積 M N が定義できるように、M の列...
これを認めれば、
\[ (A^T P)^T = P^T A \]
となります。ここで、授業で出て来た行列 P は対称行列なので、
さらに、
\[ (A^T P)^T = P^T A = P A \]
が成り立ち、質問の式が成り立ちます。
*第8回(2017.12.22) 期末テスト, 授業アンケート実施 [#d6d97...
- 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
- 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ
- 試験時間: 85分
- 授業アンケート(本科目の前半・後半をまとめて)
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&color(red){&size(25){2017.12.24 前半・後半を含めた総合成...
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