授業/動的システムの解析と制御2024

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担当：小林、TA:M1秋山祐輝、M1:石川耕大

第9回(2024.11.8) 後半（現代制御）概要～第１章　システムを状態方程式で記述する†

後半の目的：与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる

• スケジュール2024（変更の可能性あり）
• シラバス syllabus.pdf
• 成績の評価方法と評価項目：レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末テスト(64%)
• 教科書：「演習で学ぶ現代制御理論」(森 泰親 著、森北出版)
• 古典制御と現代制御の違い（長所と短所）
• 伝達関数と状態空間表現の関係（簡単な運動方程式を例に）

レポート#7 report7.pdf

板書1

板書2

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第10回(2024.11.15)第２章 システムの応答と安定性†

• 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性
• 古典制御における安定性：インパルス応答がt→∞で0に収束する
• ⇔ 現代制御における安定性：任意の初期値に対する応答がt→∞で0に収束する
• ⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
• ⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
• 復習：たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベクトル、逆行列
• 状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換

レポート#8 report8.pdf

板書1

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第11回(2024.11.22) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章 極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する)†

• 解析から設計へ、出力フィードバック（難)→状態フィードバック（簡単、基本）
• 閉ループ系のA行列 = A - BF
• A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
• 例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)、例1''（並列システム）
• 可制御性の定義
• 可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)

レポート#9 report9.pdf

板書1

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• Q: レポートがありますか。提出し方教えていただけませんか。どうぞよろしくお願いいたします。
• A: 授業のホームページ（ここ）にpdfファイルが掲載されています（上の通り）。11月27日(水)17:00までに、機械建設1号棟405室（小林居室）のドアポストに提出してください（レポートに記載されている通りです）。

第12回(2024.11.29) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御†

• 簡単な例題（a, x, b, u, f がすべてスカラ）... 最適制御を直感的に理解できる
• (i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、にトレードオフがある
• 極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい / 最適制御では、取れる
• 最適レギュレータ問題と、その解（リカッチ方程式、P>0）
• 最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... f の二次方程式、閉ループが安定となる解を選ぶ
• ＊1：f の二次方程式とリカッチ方程式の関係
• ＊2：閉ループ系の安定性と P > 0 の関係
• ＊3：Jの最小値を求める
• q を大きくする（(i) を重視する）と、|f| と |a-bf| が大きくなる
• r を大きくする（(ii) を重視する）と、|f| と |a-bf| が小さくなる

レポート#10 report10.pdf

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第13回(2024.12.6) 第6章つづき～ §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性†

• 行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0
• (半)正定行列の定義
• 対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6), 対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8) proof3.pdf
• 最適制御⇒安定かつJが最小 証明
• 最適レギュレータの設計(演習6.3,6.4)：リカッチ代数方程式の解P、P > 0 ⇒ 対応する F が閉ループ系を安定化

レポート#11 report11.pdf

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第14回(2024.12.13) §9.1状態観測器の構造†

1. 状態xが使えない場合
2. (方法1) 状態の代わりに出力yを使う = 静的出力フィードバック ⇒ NG
3. 別の方法：状態を推定して、それをxの代わりに使う
4. 状態観測器の定義：t→∞で x(t) の推定誤差が0となる
5. (方法2) 状態観測器? (演習9.1) = 動的状態フィードバック ⇒ NG
6. (方法3) 状態観測器((9.3)式, 演習9.2) = 動的状態フィードバック
7. 状態観測器を作る（（9.3)式の導出、方法２は状態観測器にならない）
8. 可観測性（可制御性との関係）
9. 演習9.3'：A - L C を安定（固有値の実部がすべて負）とする L の求め方

レポート#12 report12.pdf

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第15回(2024.12.17) §9.3併合系の固有値†

1. 方法3で安定化できる理由：閉ループ系の固有値 = A - BF と A - LC の固有値（分離定理）
2. 方法3が評価関数Jの最小値に与える影響
3. 古典制御との関係：スカラの場合を例に
4. LQRからLQG、ロバスト制御へ

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第16回(2024.12.25) 期末テスト†

• 学生証を提示の上、指定された席で受験すること。
• 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ
• 85分間

2024.12.28 前半・後半を含めた総合成績を掲示しています。レポート返却場所にて。確認してください。採点結果に疑義がある場合は1月7日（火）までに申し出ること。

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