授業/動的システムの解析と制御2019 の履歴(No.15)

第1回(2019.9.20) 前半（古典制御）概要～第5章周波数応答†

シラバス syllabus.pdf （変更あり）
成績の評価方法と評価項目
- 前半：レポート(36% = 6点×6回=36点)、中間テスト(64%)
- 後半：レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末テスト(64%)
- 前半と後半の平均点を最終成績とする。
教科書（前半、古典制御）：「フィードバック制御入門」(杉江俊治、藤田政之著、コロナ社)
- 5. 周波数応答
  - 5.1 周波数応答と伝達関数
  - 5.2 ベクトル軌跡
  - 5.3 ボード線図
  - 5.4 ボード線図の性質
- 6. フィードバック制御系の安定性
- 8. フィードバック制御系の設計法
講義スライド &ref(): File not found: "slide01.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019";
演習問題# &ref(): File not found: "exercise01.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; 第2回の授業で解説する予定です。事前に問題を解いておいてください。
グラフ用紙1 graph01.pdf
グラフ用紙2 graph02.pdf

板書3

Q: わかりやすいですが、ちょっと速いです。最後のはちょっとわかりにくいです。
Q: 速すぎる
Q: スピードがちょっとはやい。
A: カリキュラム上、内容を減らすことができないため、できるだけ無駄を省いて話をしたいと思います。

Q: ゲインや位相などのやり方は分かったが、なぜそうなるのか理解しきれなかった感じがする。
A: ゲイン線図や位相線図は描けるが、なぜそのように描くのか、という質問だとすると、そのように描くと便利だからです。次回、その話（ボード線図の利点）からします。

Q: 伝達関数からの式の展開がやや追いきれなかった。
A: できれば、その場で質問して止めてもらえると助かります。

Q: レポートの \[ m \ddot x = -c\dot x - kx + af \] は \[ \frac{a f}{c\dot x - kx} \] になるのですか
A: なるのかならないのかと言われれば、（前者は等式で後者は式でないので）比較自体ができませんが、質問の意味が分からないため再度聞いてください。

レポート#1 report1_fixed.pdf

第2回(2019.9.27) 第5章周波数応答（つづき）†

講義スライド ... 第1回のつづき（5.4.2 ボード線図の利点）から
演習問題#1（第1回で公開済）の解説をします（解答例 &ref(): File not found: "exercise01A.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; &ref(): File not found: "exercise01slide.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019";）

板書3

Q: G(s)=Ts+1の時の数値が1以外の例えばTs+10の時はそのままボード線図は書けないのでしょうか
A: そのまま書くのは難しいと思うので、時定数 T/10 または折れ点角周波数 10/T を作ってから書いてください。つまり、 \[ Ts+10 = T(s + 10/T) = T (10/T) \frac{s+(10/T)}{10/T} = 10 \frac{s+(10/T)}{10/T} \] とすれば、折れ点角周波数は 10/T、ゲイン10 として書けます。

Q: やはり基礎知識が無い為非常に勤かしい（原文ママ）
A: どこまで簡単（理解できる）で、どこから難しい（理解できない）か、境界を確認しつつ進めると良いと思います。

レポート#2 report2.pdf

第3回(2019.10.4) 第6章フィードバック制御系の安定性†

講義スライド &ref(): File not found: "slide03.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019";
演習問題#2 &ref(): File not found: "exercise02.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; 第4回の授業で解説する予定です（変更の可能性あり）。事前に問題を解いておいてください。

Q: 矢印が＋が分かりにくかった
A: 申し訳ありません。pdfファイルの方を見てください。

Q: むずかしい
A: 予習、復習、教科書の練習問題など、ある程度時間をかける必要はあると思います。

Q: 内部安定性のスライド22の \[ P(s) = \frac{N_P(s)}{D_P(s)}, \quad K(s) = \frac{N_K(s)}{D_K(s)} \] が \[ \phi(s) := D_P(s)D_K(s) + N_P(s)N_K(s) \] になるどうしゅつかていがよくわからない
A: 黒板に r から y までの伝達関数の場合を \[ T_{yr} = \frac{PK}{1+PK} = \frac{\frac{N_P}{D_P}\frac{N_K}{D_K}}{1+\frac{N_P}{D_P}\frac{N_K}{D_K}} \] と書きましたが、ここでさらに分母分子に D_P D_K をかけると、 \[ T_{yr} = \frac{N_P N_K}{D_P D_K + N_P N_K} \] となって、分母多項式がΦ(s)であることがわかります。

Q: Π=0のとき、ωを0から∞と変化させたときにベクトル軌跡が"常に"左を見るようなら安定とあるのですが、安定である（註：スライドp.45の右下の図）は右に見る部分があるように見えるのですが、どういうことでしょうか？
A: 進行方向右手に(-1,0)の点が見えるようなωが存在するが、良いのか？という指摘と思います。その意味では、左上と右上の図でも、ωが小さいときにはどちらかと言えば(-1,0)は進行方向右手に存在するので、やはり「安定」と判別できなくなってしまいます。確かにそのように受け取れるわかりにくい表現だと思いますが、ここでは川の流れの場合の右岸か左岸か、という意味だと受け取ってください。そのような説明が不足していてすみません。

Q: 授業のプレゼンを前日までにwebにアップロードしてほしいです。
A: アップロードが遅くなり申し訳ありませんでした。次回から、水曜日のうちにアップロードするようにします。

レポート#3 report3.pdf

第4回(2019.10.11) 第6章フィードバック制御系の安定性（つづき）†

講義スライド ... 第3回のつづき（6.3 ゲイン余裕、位相余裕）から
演習問題#2（第3回で公開済）の解説をします（解答例 &ref(): File not found: "exercise02A.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; &ref(): File not found: "exercise02slide.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019";）

レポート#4 report4.pdf

第5回(2019.10.18) 第8章フィードバック制御系の設計法†

講義スライド &ref(): File not found: "slide05.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; §8.2 PID補償による制御系設計（p.24）まで
演習問題#3 &ref(): File not found: "exercise03.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; 次回以降の授業で解説する予定です。授業範囲内の問題は、事前に解いておいてください。

Q: PID制御は制御対象に対してP補償ならPをかければ良いのですか。
A: 良いです。PID制御に限らず、制御をすることは、制御対象に補償器（コントローラ）をかけたものを開ループとすること、なので。制御対象をゲインk倍することは、比例ゲインがkの比例制御と同じです。

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!以下は過去の情報です!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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Q: ゲイン交差周波数と位相余裕がごっちゃになってしまいました。
A: 位相余裕は、ゲイン交差角周波数における位相の余裕、なのでごっちゃになるのは最初は仕方ないと思います。慣れてください。ただ、即応性を高める＝ゲイン交差周波数を上げる、減衰特性を良くする＝位相余裕を大きくする、という点は重要なのでごっちゃにならないようにしてください。

Q: 結局、何が言いたいのか分からなかった。
A: 要約すると、望ましい時間応答が開ループ系で特徴付けられるということと、そうなるようにPID補償が使える、という二点です。

Q: レポート難しい
A: 授業中にレポートの問題も関連づけて説明しているので、もし分からなければすぐ質問してもらえると助かります。

レポート#5 report5.pdf

第6回(2018.10.19) 第8章フィードバック制御系の設計法（つづき）†

講義スライド ... 第5回のつづき（8.3 位相進み-遅れ補償による制御系設計）から
演習問題#3（第5回で公開済）の解説をします（解答例 &ref(): File not found: "exercise03A.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; &ref(): File not found: "exercise03slide.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019";）

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Q: レポート#6の(2)に \[ L(s) = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s+10} \cdot \frac{1}{0.1s+1} \] で \[ \left( \frac{1}{s+10} \right) \] のボード線図は電卓がないときどうやって描きますか。
A: 描きやすいように分けると良いです。たとえば、 \[ L(s) = \frac{1}{0.1s} \cdot \frac{10}{s+10} \cdot \frac{1}{0.1s+1} \] と分けると、 \[ \left( \frac{10}{s+10} \right) \] または \[ \left( \frac{1}{0.1s+1} \right) \] は簡単に描けます。

Q: \[ K(s) = K\frac{\alpha(Ts+1)}{\alpha Ts+1} \] で K(∞) = Kα ではなく K(∞) = K となる理由があわかりません。αはどこへ？
A: 次式が成り立つことによります。 \[ K(\infty) = \lim_{s\rightarrow \infty} K\frac{\alpha(Ts+1)}{\alpha Ts+1} = \lim_{s\rightarrow \infty} K\frac{\alpha Ts}{\alpha Ts} = K \]

Q: 講義スライドの例題がもっとほしい
A: 時間的な制約から、講義スライドには確かに例題が少ないと思います。ただ、基本的な事はこれで理解できると思うので、次は教科書の演習問題を解いたり、MATLABなどボード線図が描けるソフトウェアを利用して、色々な場合を考えてみると良いと思います。または、次回、少し時間が余りそうなので、その際に質問してください。必要に応じてMATLABを使って説明できるようにしておきます。

Q: 「ループ整形」とは、そもそも何をすることなのですか？
A: 開ループ伝達関数(または、一巡伝達関数）のゲイン特性が望ましい形になるように、位相遅れ補償や進み補償などを用いて調整すること、です。

レポート#6 report6.pdf

第7回(2018.10.26) 第8章フィードバック制御系の設計法（つづき）†

講義スライド ... 第6回のつづき 55枚目から
演習問題#3（第5回で公開済）の解説（つづき、問題2）

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Q: テストが心配
A: レポートの内容を理解していれば大丈夫です。

第8回(2018.11.2) 中間テスト†

試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ（電卓の持ち込みはできません）
試験時間: 85分

2018.11.2 前半の成績を掲示しています。レポート返却場所にて。確認してください。採点結果に疑義がある場合は申し出ること。

第1回(2018.11.9) 後半（現代制御）概要～第１章　システムを状態方程式で記述する†

この授業の目的：与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる

シラバス syllabus.pdf
成績の評価方法と評価項目：レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末テスト(64%)
教科書：「演習で学ぶ現代制御理論」(森泰親著、森北出版)
古典制御と現代制御の違い（長所と短所）
伝達関数と状態空間表現の関係（簡単な運動方程式を例に）

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Q: 古典制御と現代制御を比較すると古典制御の方が多く用いられている気がするのですが、実際はどうなんでしょうか。
A: 世の中にある制御系の9割はPID制御である、という話を聞いたことがあるかもしれません。実際、現在市販されている汎用サーボモータにおいてもPID制御やノッチフィルタなど、古典制御は広く利用されています。ただ、この事から直ちに、古典制御が使えれば十分である、とはならないので注意してください。例えば、（前半の授業でも開ループ系の安定性を仮定したように）世の中にある制御対象の多くは安定系です。何も制御入力を与えなくても、信号が発散することはありません。また、単純な振動系など、低次のシステムと捉えられる場合も多くあります。そのような制御対象に対しては、古典制御でも十分な制御性能が得られます。すなわち現実は、古典制御で十分対応できる制御対象が世の中に多く存在するから見掛け上「古典制御が9割」となっている側面があるので注意してください。比較的小数ではあっても、不安定系や高次系など、古典制御で十分な性能が得られない制御対象は存在し、その場合に現代制御（や、その後の進んだ制御理論）が役立つことになります。逆に、そうでなければ、古典制御以降の発展はありません。

Q: y=CX の部分がよく分からなかった。
A: 黒板のどの辺りの話か教えてもらえると助かります。

レポート#7 report7.pdf

第2回(2018.11.16)第２章システムの応答と安定性†

解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性
古典制御における安定性：インパルス応答がt→∞で0に収束する
⇔ 現代制御における安定性：任意の初期値に対する応答がt→∞で0に収束する
⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
復習：たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベクトル、逆行列
状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換

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Q: |A - λI| と |λI - A| は同じだと思うのですがどちらで計算してもよいですか？
A: よいです。

Q: システムが安定かどうかの条件はまだわかりません（u=0のとき）（Routhの表を使っていいですか）
A: 使っても良いです。

Q: Re{λi} < 0 ∀i は、すべてのAの固有値の実部が0以上ということでいいでしょうか？
A: 0以上ではなく0未満です。

レポート#8 report8.pdf

第3回(2018.11.30) 第3章可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する)†

解析から設計へ、出力フィードバック（難)→状態フィードバック（簡単、基本）
閉ループ系のA行列 = A - BF
A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)
可制御性の定義
可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)
レポート対策

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Q: 分かりません
A: 具体的に聞いてもらえれば答えます。

Q: ペースが速かったです。
A: 終わってから気づきました。申し訳ありません。例題など、各自でやってもらう時間をとるべきでした。

レポート#9 report9.pdf

第4回(2018.12.07) 第6章最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御†

簡単な例題（a, x, b, u, f がすべてスカラ~~、b > 0~~）... 最適制御を直感的に理解できる
(i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、にトレードオフがある
極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい
最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる
最適レギュレータ問題と、その解（リカッチ方程式、P>0）
最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... f の二次方程式、閉ループが安定となる解を選ぶ
＊1：f の二次方程式とリカッチ方程式の関係
＊2：閉ループ系の安定性と P > 0 の関係
＊3：Jの最小値を求める
q を大きくする（(i) を重視する）と、|f| と |a-bf| が大きくなる

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Q: リカッチ代数方程式のスカラーに対応する式が分かりにくかった。
A: f=bp/r の下で、どちらも同じ二次方程式（一方はfについて、もう一方はpについて）である、ということが分かってもらえれば十分です。

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第5回(2018.12.14) 第6章つづき～ §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性†

行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0
(半)正定行列の定義
対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6), 対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8) proof3.pdf
最適制御⇒安定かつJが最小証明
最適レギュレータの設計(演習6.3,6.4)：リカッチ方程式の解P、P > 0 ⇒ 対応する F が閉ループ系を安定化

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Q: 朝起きられません
A: 夜早めに寝てみてください。

Q: レポート対策で、Pは正定だから対角成分が正と仮定しているのに、次の問でPが正定であることを示すのに違和感があった。
A: はっきり説明すべきでしたが、リカッチ方程式の（正定とは限らない）解は複数存在します（今日説明した例でも、p2 = ±1、p3 = 1, -3 などの可能性があった通りです）。よって、リカッチ方程式の解が一つ求まったとしても、それが正定であるとは限りません。p3 = -3 と選んでしまうとその時点で正定でないことが確定してしまうので、p3 = 1 と選ぶ必要がありますが、これはPが正定であるために十分ではありません。そのため、(2)で正定性を調べています。とても良い質問で、もし授業中に質問してくれていたら、不十分な説明の良い補足になったと思います。

レポート#11 report11.pdf

第6回(2018.12.18) §9.1状態観測器の構造†

状態xが使えない場合
(方法1) 状態の代わりに出力yを使う = 静的出力フィードバック ⇒ ダメ
別の方法：状態を推定して、それをxの代わりに使う
状態観測器の定義：t→∞で誤差 x(t) の推定誤差が0となる
(方法2) 状態観測器? (演習9.1) + 状態フィードバック ⇒ ダメ
(方法3) 状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
状態観測器を作る（（9.3)式の導出、方法２は状態観測器にならない）
可観測性（可制御性との関係）
演習9.3'：A - L C を安定（固有値の実部がすべて負）とする L の求め方

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Q: □7（方法2）... L=0とした（方法3）
聞き逃しかもしれませんが、（方法2）..._____（方法3）
と方法が2通り混在して書かれている意味が見返すとわからなくなってしまいました。
A: （方法2）は（方法3）の特別な場合、つまり L=0 とした場合、y を使用しない場合です。答えになっていない場合はまた聞いてください。

Q: レポート#12はいつ返却予定か？
A: 21日（木）10:00に返却予定です。

レポート#12 report12.pdf

第7回(2018.12.21) §9.3併合系の固有値†

方法3で安定化できる理由：閉ループ系の固有値 = A - BF と A - LC の固有値
方法3が評価関数Jの最小値に与える影響？
A-LC の固有値の実部が-∞に近づくように L を設定するとどうなるか？

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Q: 制御を学ぶ楽しさが少し分かった。
A: よくがんばりました。これを聞いて私も少し報われた気がします。