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担当：小林、TA:M1田上、小林
スケジュール2019
(2019.9.6) 休講†
第1回(2019.9.20) 前半（古典制御）概要〜第5章 周波数応答†
- シラバス
syllabus.pdf （変更あり）
- 成績の評価方法と評価項目
- 前半：レポート(36% = 6点×6回=36点)、中間テスト(64%)
- 後半：レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末テスト(64%)
- 前半と後半の平均点を最終成績とする。
- 教科書（前半、古典制御）：「フィードバック制御入門」(杉江 俊治、藤田 政之 著、コロナ社)
- 5. 周波数応答
- 5.1 周波数応答と伝達関数
- 5.2 ベクトル軌跡
- 5.3 ボード線図
- 5.4 ボード線図の性質
- 6. フィードバック制御系の安定性
- 8. フィードバック制御系の設計法
- 講義スライド &ref(): File not found: "slide01.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019";
- 演習問題# &ref(): File not found: "exercise01.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; 第2回の授業で解説する予定です。事前に問題を解いておいてください。
- グラフ用紙1 graph01.pdf
- グラフ用紙2 graph02.pdf
- Q: わかりやすいですが、ちょっと速いです。最後のはちょっとわかりにくいです。
- Q: 速すぎる
- Q: スピードがちょっとはやい。
- A: カリキュラム上、内容を減らすことができないため、できるだけ無駄を省いて話をしたいと思います。
- Q: ゲインや位相などのやり方は分かったが、なぜそうなるのか理解しきれなかった感じがする。
- A: ゲイン線図や位相線図は描けるが、なぜそのように描くのか、という質問だとすると、そのように描くと便利だからです。次回、その話（ボード線図の利点）からします。
- Q: 伝達関数からの式の展開がやや追いきれなかった。
- A: できれば、その場で質問して止めてもらえると助かります。
- Q: レポートの
\[ m \ddot x = -c\dot x - kx + af
\]
は
\[ \frac{a f}{c\dot x - kx} \]
になるのですか
- A: なるのかならないのかと言われれば、（前者は等式で後者は式でないので）比較自体ができませんが、質問の意味が分からないため再度聞いてください。
レポート#1 report1_fixed.pdf
第2回(2019.9.27) 第5章 周波数応答（つづき）†
- 講義スライド ... 第1回のつづき（5.4.2 ボード線図の利点）から
- 演習問題#1（第1回で公開済）の解説をします（解答例 &ref(): File not found: "exercise01A.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; &ref(): File not found: "exercise01slide.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019";）
- Q: G(s)=Ts+1の時の数値が1以外の例えばTs+10の時はそのままボード線図は書けないのでしょうか
- A: そのまま書くのは難しいと思うので、時定数 T/10 または折れ点角周波数 10/T を作ってから書いてください。つまり、
\[
Ts+10 = T(s + 10/T) = T (10/T) \frac{s+(10/T)}{10/T} = 10 \frac{s+(10/T)}{10/T}
\]
とすれば、折れ点角周波数は 10/T、ゲイン10 として書けます。
- Q: やはり基礎知識が無い為非常に勤かしい（原文ママ）
- A: どこまで簡単（理解できる）で、どこから難しい（理解できない）か、境界を確認しつつ進めると良いと思います。
レポート#2 report2.pdf
第3回(2019.10.4) 第6章 フィードバック制御系の安定性†
- 講義スライド &ref(): File not found: "slide03.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019";
- 演習問題#2 &ref(): File not found: "exercise02.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; 第4回の授業で解説する予定です（変更の可能性あり）。事前に問題を解いておいてください。
- Q: 矢印が＋が分かりにくかった
- A: 申し訳ありません。pdfファイルの方を見てください。
- Q: むずかしい
- A: 予習、復習、教科書の練習問題など、ある程度時間をかける必要はあると思います。
- Q: 内部安定性のスライド22の
\[
P(s) = \frac{N_P(s)}{D_P(s)}, \quad K(s) = \frac{N_K(s)}{D_K(s)}
\]
が
\[ \phi(s) := D_P(s)D_K(s) + N_P(s)N_K(s)
\]
になるどうしゅつかていがよくわからない
- A: 黒板に r から y までの伝達関数の場合を
\[
T_{yr} = \frac{PK}{1+PK} = \frac{\frac{N_P}{D_P}\frac{N_K}{D_K}}{1+\frac{N_P}{D_P}\frac{N_K}{D_K}}
\]
と書きましたが、ここでさらに分母分子に D_P D_K をかけると、
\[
T_{yr} = \frac{N_P N_K}{D_P D_K + N_P N_K}
\]
となって、分母多項式がΦ(s)であることがわかります。
- Q: Π=0のとき、ωを0から∞と変化させたときにベクトル軌跡が"常に"左を見るようなら安定とあるのですが、安定である（註：スライドp.45の右下の図）は右に見る部分があるように見えるのですが、どういうことでしょうか？
- A: 進行方向右手に(-1,0)の点が見えるようなωが存在するが、良いのか？という指摘と思います。
その意味では、左上と右上の図でも、ωが小さいときにはどちらかと言えば(-1,0)は進行方向右手に存在するので、やはり「安定」と判別できなくなってしまいます。
確かにそのように受け取れるわかりにくい表現だと思いますが、ここでは川の流れの場合の右岸か左岸か、という意味だと受け取ってください。そのような説明が不足していてすみません。
- Q: 授業のプレゼンを前日までにwebにアップロードしてほしいです。
- A: アップロードが遅くなり申し訳ありませんでした。次回から、水曜日のうちにアップロードするようにします。
レポート#3 report3.pdf
第4回(2019.10.11) 第6章 フィードバック制御系の安定性（つづき）†
- 講義スライド ... 第3回のつづき（6.3 ゲイン余裕、位相余裕）から
- 演習問題#2（第3回で公開済）の解説をします
（解答例 &ref(): File not found: "exercise02A.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; &ref(): File not found: "exercise02slide.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019";）
レポート#4 report4.pdf
第5回(2019.10.18) 第8章 フィードバック制御系の設計法†
- 講義スライド &ref(): File not found: "slide05.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; §8.2 PID補償による制御系設計（p.24）まで
- 演習問題#3 &ref(): File not found: "exercise03.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; 次回以降の授業で解説する予定です。授業範囲内の問題は、事前に解いておいてください。
- Q: PID制御は制御対象に対してP補償ならPをかければ良いのですか。
- A: 良いです。PID制御に限らず、制御をすることは、制御対象に補償器（コントローラ）をかけたものを開ループとすること、なので。制御対象をゲインk倍することは、比例ゲインがkの比例制御と同じです。
レポート#5 report5.pdf
第6回(2019.10.25) 第8章 フィードバック制御系の設計法（つづき）†
- 講義スライド ... 第5回のつづき（8.3 位相進み-遅れ補償による制御系設計）から
- 演習問題#3（第5回で公開済）の解説をします（解答例 &ref(): File not found: "exercise03A.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019"; &ref(): File not found: "exercise03slide.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2019";）
- Q: レポートを期限内に提出しているのに遅れ扱いにされるということがあった。点数の良い悪いにかぎらず、成績に関わることなので、このようなことが起きないよう対策してもらいたい。
- A: 締切時刻17:00に不在だったため、TA学生に17:00に目印の紙を投函してもらいました。その上に乗っていたレポートを締切後に投函されたと判断しました。ここからは推測ですが、目印の紙を投函する際にレポートが下に落ちておらず、目印の紙が先に下に落ちた可能性が考えられます。しかし、客観的に判断する材料がなく、大変申し訳ありません。17時に不在にならないようにします。
- Q: [例8.3]:どうしてPM>=40°を満たす時、K=1ですか？
- A: K=1 とした結果、PM>=40°を満たすことがわかったので、K=1を採用した、ということです。
- Q: テストはレポートと演習問題が解ければだいじょうぶですか？
- A: 当初説明した通り、レポート課題の中から数値を変えて出題するので、レポートが解ければ大丈夫です。
レポート#6 report6.pdf
第7回(2019.10.25) 第8章 フィードバック制御系の設計法（つづき）†
- 講義スライド ... 第6回のつづき 55枚目から
- 演習問題#3（第5回で公開済）の解説（つづき、問題2）
- Q: グラフが複数重なり合っていて少し見ずらかったです。
- A: 時間には余裕があったのでもう少し丁寧に説明すべきでした。pdfファイルで復習してください。
第8回(2019.11.1) 中間テスト†
- 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
- 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ（電卓の持ち込みはできません）
- 試験時間: 85分
2019.11.6 前半の成績を掲示しています。レポート返却場所にて。確認してください。採点結果に疑義がある場合は申し出ること。
第1回(2019.11.8) 後半（現代制御）概要〜第１章 システムを状態方程式で記述する†
この授業の目的：与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる
- Q: レポートの(2)では出力が
\[
\dot z
\] なので sZ(s) = GU(s) となる G を求めればよいのか。
- A: よいです。ただし、U(s)が力fのラプラス変換ならば。
レポート#7 report7.pdf
第2回(2019.11.15)第２章 システムの応答と安定性†
- 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性
- 古典制御における安定性：インパルス応答がt→∞で0に収束する
- ⇔ 現代制御における安定性：任意の初期値に対する応答がt→∞で0に収束する
- ⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
- ⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
- 復習：たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベクトル、逆行列
- 状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換
- Q: レポート対策の
\[
A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -8 & 0 & 0 \end{array} \right]
\]
固有値の一つは -2 の問題は
\[|\lambda I - A | = \left[ \begin{array}{ccc} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -8 & 0 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ 8 & 0 & \lambda \end{array} \right]
\]
になるのであっていますか。
- A: 行列式と行列をしっかり区別してください。つまり最後は3×3の行列ではなく行列式なので
\[\left| \begin{array}{ccc} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ 8 & 0 & \lambda \end{array} \right| \]
と書く必要があります（途中の行列も| |で挟む必要がある）。それ以外は合っています。
レポート#8 report8.pdf
第3回(2019.11.22) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章 極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する)†
- 解析から設計へ、出力フィードバック（難)→状態フィードバック（簡単、基本）
- 閉ループ系のA行列 = A - BF
- A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
- 例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)
- 可制御性の定義
- 可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)
- レポート対策
... 最後の[2 4 9] は [2 9 4] の誤記です。単純ミスで申し訳ありません。
- Q: 可制御性行列の時に例えば□9の(例1')の
\[
U_c = \left| \begin{array}{cc} B & AB \end{array} \right|
\]
の AB は
\[
\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right]
\]
になって 0 を消して
\[
\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right]
\]
になるということでしょうか？
- A: 「0を消す」の意味がわかりませんが、AB は通常の意味（A と B の積）です。
質問の答になっていない場合はまた聞いてください。
レポート#9 report9.pdf
第4回(2019.11.29) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御†
- 簡単な例題（a, x, b, u, f がすべてスカラ）... 最適制御を直感的に理解できる
- (i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、にトレードオフがある
- 極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい
- 最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる
- 最適レギュレータ問題と、その解（リカッチ方程式、P>0）
- 最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... f の二次方程式、閉ループが安定となる解を選ぶ
- ＊1：f の二次方程式とリカッチ方程式の関係
- ＊2：閉ループ系の安定性と P > 0 の関係
- ＊3：Jの最小値を求める
- r を大きくする（(ii) を重視する）と、|f| と |a-bf| が小さくなる
- Q: 式が多い
- A: 基本的には数学なので、ある程度は仕方ないように思います。
レポート#10 report10.pdf
第5回(2019.12.6) 第6章つづき〜 §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性†
- 行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0
- (半)正定行列の定義
- 対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6), 対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8) proof3.pdf
- 最適制御⇒安定かつJが最小 証明
- 最適レギュレータの設計(演習6.3,6.4)：リカッチ方程式の解P、P > 0 ⇒ 対応する F が閉ループ系を安定化
- Q: §6.2（例３）で
\[
\left[\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right]
\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right]
= (x_1 + x_2)^2 + x_1^2 + x_2^2 > 0
\]
としてもよいか。
- A: 良いです。
- Q: レポート対策の
\[
(\mbox{リカッチの左辺}) = \left[\begin{array}{cc} 1 & p_1 - p_2 \\ \ast & 2(p_2 - p_3) + 1 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc} p_2^2 & p_2 p_3 \\ \ast & p_3^2 \end{array} \right] = 0
\]
この式の形になるのがわからない ←（註：＊二箇所と、2(p_2 - p_3) + 1 への矢印）どうなったらこの形になるのか
- A: 口頭で説明しましたが、対称行列なので、左下は記載を省略（＊）しました。また、2(p_2 - p_3) + 1 については、PA の (2,2) 要素 p_2 - p_3 と、A^T P の (2,2)要素 p_2 - p_3 と、Q の (2,2)要素 1 の和です。
レポート#11 report11.pdf
第6回(2019.12.13) §9.1状態観測器の構造†
- 状態xが使えない場合
- (方法1) 状態の代わりに出力yを使う = 静的出力フィードバック ⇒ ダメ
- 別の方法：状態を推定して、それをxの代わりに使う
- 状態観測器の定義：t→∞で誤差 x(t) の推定誤差が0となる
- (方法2) 状態観測器? (演習9.1) + 状態フィードバック ⇒ ダメ
- (方法3) 状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
- 状態観測器を作る（（9.3)式の導出、方法２は状態観測器にならない）
- 可観測性（可制御性との関係）
- 演習9.3'：A - L C を安定（固有値の実部がすべて負）とする L の求め方
- 板書□7を撮り忘れました、すみません。
代わりに去年の板書（板書4の□8）を掲載します。板書内容は同じものとなっています。
レポート#12 report12.pdf
第7回(2019.12.20) §9.3併合系の固有値†
- 方法3で安定化できる理由：閉ループ系の固有値 = A - BF と A - LC の固有値
- 方法3が評価関数Jの最小値に与える影響？
- A-LC の固有値の実部が-∞に近づくように L を設定するとどうなるか？
- Q: 大学院の制御特論とこの授業はどのようにつながるのか。
- A: この授業では、制御対象が伝達関数または状態空間表現として一つに（一点で）与えられる状況を考えました。制御工学特論では、制御対象が一点ではなく集合で与えられる場合を考えます。その上で、集合の制御対象に対して制御系が安定性で、かつある性能仕様を満たすコントローラの設計問題を扱います。
第8回(2019.12.27) 期末テスト, 授業アンケート実施†
- 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
- 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ
- 試験時間: 85分
- 授業アンケート（本科目の前半・後半をまとめて）
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