授業/動的システムの解析と制御2013

授業

第1回(2013.11.7) 概要〜第１章　システムを状態方程式で記述する（線形化は割愛）†

この授業の目的：与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる

• シラバス
• 成績の評価方法と評価項目：レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末テスト(64%)
  レポート１回目
• 古典制御と現代制御の違い（長所と短所）
• 伝達関数と状態空間表現の関係（簡単な運動方程式を例に）

板書1

板書2

板書3

板書4

• Q:どういうときxがスカラーかベクトルの場合になるのか？
• A:マスバネダンパ系の運動方程式は２階の微分方程式でした。この場合、状態空間表現（１階の微分方程式）にするために、状態変数は２行１列のベクトルとなります。同様に、n階の微分方程式を状態空間表現する場合は、状態変数はn行1列のベクトルとなります。状態変数がスカラーになるのは、1階の微分方程式の場合です。

• Q:表記として、スカラーもベクトルも G(s) = Y(s)/U(s) = cb/(s-a) でよいのか？
• A:Y(s)/U(s)と書けるのは、U(s)がスカラ（つまり制御入力 u(t)がスカラ）の場合だけです（何かをベクトルでは割れない）。一方、cb/(s-a)と表記できる、つまり (s-a) で割れるのは、A 行列がスカラ（つまり、状態変数がスカラ）の場合だけです。

第2回(2013.11.15) 第２章 システムの応答と安定性†

• 解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性
• 古典制御における安定性：インパルス応答がt→∞で0に収束する
• ⇔ 現代制御における安定性：任意の初期値に対する応答がt→∞で0に収束する
• ⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
• ⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
• 復習：たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベクトル、逆行列
• 状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換

レポート２回目

板書1

板書2

板書3

板書4

板書5

板書6

• Q:TF, SSRはどういう意味?
• A:伝達関数(Transfer Function), 状態空間表現(State Space Representation)です。
• Q:x(0)=vとするの後、Iがvになっているところを聞き逃した
• A:Iがvになったのは、I(単位行列)にvをかけたためです。
• Q:黒板の文字が小さい
• A:すみません。次回、少し大きめにします。

第3回(2013.11.22) 第3章 可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章 極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する)†

• 解析から設計へ、出力フィードバック（難)→状態フィードバック（簡単、基本）
• 閉ループ系のA行列 = A - BF
• A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
• 例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)
• 可制御性の定義
• 可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)
• レポート対策

レポート３回目

板書1

板書2

板書3

板書4

板書5

板書6

• Q: f1 + f2 = 2、f1 - f2 = 3 がどこから出てきたかよく分からなかった
• A: 特性方程式の係数を比較した結果です。ただし、2番目の式は、もともと f1 - f2 - 1 = 2 だったのをこの時点で変形しています。できれば授業中に指摘してもらえると（周りの人も）助かります。

レポート#1, #2 を返却しています。必ず持ち帰って復習しておくこと。

第4回(2013.11.29) 第6章 最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御†

• 簡単な例題（a, x, b, u, f がすべてスカラ、b > 0）... 最適制御を直感的に理解できる
• (i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、にトレードオフがある
• 極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい
• 最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる
• 最適レギュレータ問題と、その解（リカッチ方程式、P>0）
• 最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... f の二次方程式、閉ループが安定となる解を選ぶ
• f の二次方程式とリカッチ方程式の関係
• 閉ループ系の安定性と P > 0 の関係
• r を大きくする（(ii) を重視する）と、|f| が小さくなる

レポート４回目

板書1

板書2

板書3

板書4

板書5

第5回(2013.12.6) 第6章つづき〜 §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性†

• レポート#4復習：「〜のとき」「〜ならば」「等価」「必要十分」「⇒」「⇔」
• 最適制御⇒安定かつJが最小
  証明
• 行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0
• (半)正定行列の定義
• 対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6)
• 対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8)
  proof3.pdf
• 最適レギュレータの設計(演習6.3,6.4)：リカッチ方程式の解P、P > 0 ⇒ 対応する F が閉ループ系を安定化

レポート５回目

板書1

板書2

板書3

板書4

板書5

板書6

第6回(2013.12.13) §9.1状態観測器の構造†

• 状態観測器の必要性：直接利用できない状態の推定
• 状態観測器の定義：t→∞で誤差なく x(t) を推定できる
• 二つの疑問：(i)xを推定値で置き換えた制御系が安定となるか？; (ii)Jの最小化に与える影響は？
• 方法１：状態観測器なし、x を単純に y におきかえる。u = -F y ... 静的出力フィードバック
• 方法２：状態観測器?(演習9.1) + 状態フィードバック
• 方法３：状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
• 演習9.3'：方法１で安定化できない例
• 方法３の状態観測器を作る（（9.3)式の導出、方法２は状態観測器にならない）
• 可観測性（可制御性との関係）
• 演習9.3'：A - L C を安定（固有値の実部がすべて負）とする L の求め方

レポート６回目

板書1

板書2

板書3

板書4

板書5

板書6

板書7

第7回(2013.12.20) §9.3併合系の固有値†

• 方法３で安定化できる理由：閉ループ系の固有値 = A - BF と A - LC の固有値
• 方法３が評価関数Jの最小値に与える影響？
• 復習：静的/動的、状態/出力フィードバック

板書1

板書2

板書3

板書4

板書5

第8回(2013.12.27) 期末テスト, 授業アンケート実施†

• 試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
• 持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ
• 試験時間: 90分

前半・後半を含めた最終成績を掲示しています。レポート返却場所にて。確認してください。

Contents

0．トップ

1. 掲示板

2．メンバー

3. 研究テーマ

4. 研究生活

5．イベント

6．授業

7．学生実験

8．研究室内のページ

9．情報公開

最新の10件