授業/動的システムの解析と制御2015

授業

担当：小林、TA:M1篠田

第1回(2015.10.30) 概要～第１章　システムを状態方程式で記述する†

この授業の目的：与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる

シラバス syllabus.pdf
成績の評価方法と評価項目：レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末テスト(64%)
教科書：「演習で学ぶ現代制御理論」(森泰親著、森北出版)
古典制御と現代制御の違い（長所と短所）
伝達関数と状態空間表現の関係（簡単な運動方程式を例に）

板書1

... 2番目の板書の中程、「=F(s)」は「+F(s)」の誤りです。

Q: 黒板2で m s^2 Z(s) = ... = F(s) みたいなミスがあったかもしれない
A: ~~写真を確認しましたが、ミスはないようです。何かあればまた指摘ください~~ 「= F(s)」は「+F(s)」の誤りでした。せっかく指摘してくれたのに気付かず申し訳ありません。

Q: 3乗、4乗の成分を含む系の場合は \[ x = \left[ \begin{array}{c} z \\ \dot z \\ \ddot z \end{array} \right] \] のように広げていくだけで良いのか？
A: 一つの状態変数の取り方としては、その通りです（自由度があって一意に決まらない）。

Q: レポートは裏に記入してよいか。紙を追加してもよいか。
A: 裏への記入OKです。スキャンする都合上、紙の追加はしないでください。
Q: 可制御正準形の説明のときC行列の成分をb1, b2 とおいていましたが、可観測性のときに混ざるので c1, c2 とおいた方がよいと思います
A: スタートが伝達関数で、その係数は ai, bi とおくのが自然のため、そのようにしました。状態空間表現のC行列の成分を表すことが目的の場合は確かに、ci とおくのが良いと思います。

Q: 可制御正準形の3行3列の行列がどうやって出て来たのかわからない。
A: B 行列がそうなるように考えると、出てきます。補足説明のpdfファイルctrbf.pdf

Q: 例のTFは何？
A: 伝達関数です。授業開始直後に説明しました。私の授業（でなくとも普通、授業はそういうものだと思いますが）は、最初に授業の目的や概要など重要なことをまとめて説明してから始めるため、遅刻するとつまらないと思います。

Q: 黒板3分割になりませんか
A: そうすると横幅が広くなりすぎるため、すみませんがこのまま4分割でやらせてください。字が小さいという指摘であれば、席がたくさん空いているので、前の方で聞いてください。

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第2回(2015.11.6) 第２章システムの応答と安定性†

解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性
古典制御における安定性：インパルス応答がt→∞で0に収束する
⇔ 現代制御における安定性：任意の初期値に対する応答がt→∞で0に収束する
⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
復習：たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベクトル、逆行列
状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換

Q: レポートの、「行列Aの固有値の一つは-1」は誤りではないか？
A: 確認しましたが、誤りはありません。

Q: 最小実現の説明がいまいちわからなかった。
A: 伝達関数の次数が n次のとき、A行列のサイズがn×nになっている、と思ってくれれば良いです。わからなかった部分を具体的に聞いてもらえると助かります。

Q: 前回の講義の黒板2（写真板書1）で \[ ms^2 Z(s) = -cs Z(s) - kZ(s) = F(s) \] の右側の「=」はミスではないか？
A: ミスです。気付かず申し訳りません。授業中に指摘してもらえるとさらに助かります。

Q: x(0) として A の固有ベクトルを選ぶと \[ e^{At} x(0) = \cdots = e^{\lambda_i t} v_i \rightarrow 0 \Leftrightarrow \mathrm{Re} \lambda_i < 0 {}^\forall i \] は分かったが、 \[ \mathrm{Re} \lambda_i < 0 \Rightarrow (ii) \] が分からなかった。(ii) は \[ {}^\forall x(0) \] ？
A: 小さな黒板に書いた (ii) の「初期値応答が0に収束する」というのは、どのように初期値を与えても0に収束するという意味です。同様に (iv) の「固有値の実部が負」は、すべての固有値の実部が負という意味です。口頭では説明したのですが、黒板に明記すべきでした。。。回答になっていない場合は指摘ください。

Q: 応答の安定性の定義がよくわからなかった
A: 伝達関数の極やA行列の固有値に関する条件を定義だと思ってもらっても良いです。わからない部分を具体的に聞いてもらえると助かります。

Q: 黒板7の「=I」の証明がよく分からない
A: 指摘を受けて、-A^3/s^3 の項を赤線で消してなかったことに気づきました。I 以外の項はすべて相殺し、I だけが残ります。わからなければまた聞いてください。できれば気付いたらすぐ指摘してもらえると助かります。他の学生の理解も進むと思うので。

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第3回(2015.11.13) 第3章可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する)†

解析から設計へ、出力フィードバック（難)→状態フィードバック（簡単、基本）
閉ループ系のA行列 = A - BF
A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)
可制御性の定義
可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)
レポート対策

Q: \[ z = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot z \\ z \end{array} \right] \] で [0 1] でない場合、コントローラを作る方法がないのか。また、 \[ z = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot z \\ z \end{array} \right] \] とならなかった場合に、 \[ \dot z = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot z \\ z \end{array} \right] \] ならば成り立つことが確認できれば、コントローラを作ることができると考えてよいか。

A: y = C x の式は、状態 x に C 行列をかけたものを出力 y とする、という y の定義式です。C がどう与えられるかは問題によります。1 の部分が（性能の劣化などで）0.9 の場合も有り得る、などと説明しましたが、その場合は、0.9 z が出力されます。

Q: 高専のとき、可制御かの判別に、可制御性行列がフルランクかどうかを使用していたような気がする
A: フルランクで正しいです。一般には行列Ucは正方でなくフルランクかどうかをみます（正方の場合、正則とフルランクは等価です）。授業では話を簡単にするためにUcが正方の場合のみ話しましたが、一般にはフルランクかどうかで判別するが、という説明を一言すべきでした。すみません。

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第4回(2015.11.20) 第6章最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御†

簡単な例題（a, x, b, u, f がすべてスカラ、b > 0）... 最適制御を直感的に理解できる
(i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、にトレードオフがある
極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい
最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる
最適レギュレータ問題と、その解（リカッチ方程式、P>0）
最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... f の二次方程式、閉ループが安定となる解を選ぶ（行列の場合：proof4.pdf）
＊1：f の二次方程式とリカッチ方程式の関係
＊2：閉ループ系の安定性と P > 0 の関係
＊3：Jの最小値を求める
q を大きくする（(i) を重視する）と、|a-bf| が大きくなる

Q: 私の持っている教科書では、評価関数を「時間区間[0,T]にわたる生産率u(t)を制御して、在庫量x(t)を希望状態xd(t)に制御する場合、 \[ J(u) = \int_0^T [q(t)(x(t)-x_d(t))^2 + r(t) u^2(t)] dt \] q(t), r(t) は正値関数（q(t)は非負も可）」としていたのですがこれは黒板の評価関数と同義なのでしょうか？それとも評価関数は複数あるのでしょうか？
A: 積分区間が有限か無限か、重みが時不変か時変か、などの違いで評価関数は様々に定義されます。上記のように重み関数が時変の場合はリカッチ方程式の解も時間依存となります。この授業では取り扱いが最も簡単な場合＝積分区間は無限、重みは定数行列、リカッチの解も定数行列、を扱います。

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