授業/動的システムの解析と制御2018

授業

第1回(2018.9.7) 前半（古典制御）概要～第5章周波数応答†

シラバス syllabus.pdf （変更あり）
成績の評価方法と評価項目：レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末中間テスト(64%)
教科書（前半、古典制御）：「フィードバック制御入門」(杉江俊治、藤田政之著、コロナ社)
- 5. 周波数応答
  - 5.1 周波数応答と伝達関数
  - 5.2 ベクトル軌跡
  - 5.3 ボード線図
  - 5.4 ボード線図の性質
- 6. フィードバック制御系の安定性
- 8. フィードバック制御系の設計法
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演習問題#1 &ref(): File not found: "exercise01.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2018"; 第2回の授業で解説する予定です。事前に問題を解いておいてください。
グラフ用紙1 graph01.pdf
グラフ用紙2 graph02.pdf

板書1

板書2

板書3

Q: 解説は分かりやすいがはやかった
Q: 授業が少し早いと感じました。
Q: 進みがはやい
Q: 授業が進むスピードがとても速くて、難しく感じました。もう少し解説を増やして、ゆっくり進めていただけると、ありがたいです。
Q: 分量が多かったこともあり、スピードが速かった。
Q: スピードがはやく、理解が追いつかなかった
Q: 授業は少し速いと思います。
A: 特に前半の進み方が速かったと思います。授業の冒頭で授業のホームページを投影できないなど時間がかかり、少し急いで話しました。事前の準備不足で申し訳ありませんでした。次回、改善します。理解が追いつかない場合は、質問してもらえると助かります。

Q: ベクトル軌跡の1次形の場合における、半円になる根拠がよく分からなかった。
A: 分子の「足して引く」の変形は良いとすると、疑問は、 \[ \frac{1 - j\omega t}{1 + j\omega t} \] が半円になる理由、だと思います。まず、絶対値が 1 であることはすぐわかります： \[ \left| \frac{1 - j\omega t}{1 + j\omega t} \right | = \frac{\sqrt{1 + (\omega t)^2}}{\sqrt{1 + (\omega t)^2}} = 1 \] 次に、位相については、（たとえば ωt = 1として）複素平面上に \[ 1 - j \omega t, \quad 1 + j \omega t \] の二点を終点とする二本のベクトル（始点は原点）を描くと、その二本のベクトルがなす角（のマイナス1倍）が求めるべき位相を与えます。つまり、ωt が 0 から +∞ に変化するとき、位相は 0 から -180度に向かって変化します。または、次のように式でも示せます： \begin{eqnarray} \angle \frac{1 - j\omega t}{1 + j\omega t} &=& \angle(1 - j\omega t) - \angle(1 + j\omega t) \\ &=& \tan^{-1}\left(\frac{-\omega t}{1}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{\omega t}{1}\right) \\ &=& -\tan^{-1}\omega t - \tan^{-1}\omega t \\ &=& -2\tan^{-1}\omega t \end{eqnarray}

Q: レポートについて、どのように運動方程式からG(s)を導出すればよいのか？図の形が類似していることから、1次系として、G(s)=1/(1+sT)として良いのか？
A: 微分方程式をラプラス変換して導出してください。運動方程式が二階の導関数なので、 G(s)=1/(1+sT)とは（1次の伝達関数には）なりません。

Q: レポートについて、提示条件から、ｆは力とされていますが、f=m(d2x/dt2)と扱って良いのでしょうか？
A: ダメです。ダンパによる減衰力、ばねによる復元力もあるので。

Q: 先生方のメールアドレス（及び連絡手段）は本来ならどこ(学内HP等)から見つけるのが正しいのでしょうか？
A: こちらから提示すべきでした。申し訳ありません。kobayasi の後ろに、@nagaokaut.ac.jp で届きます。

report1.pdf レポート#1 課題1「マスの変位」→「マスの平衡点からの変位」としてください。

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第2回(2018.9.21) 第5章周波数応答（つづき）†

講義スライド ... 第1回のつづき（5.4.2 ボード線図の利点）から
演習問題#1（第1回で公開済）の解説をします（解答例 &ref(): File not found: "exercise01A.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2018"; &ref(): File not found: "exercise01slide.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2018";）

板書1

板書2

Q: HPのシラバス（動的システムのトップ）に「レポート36% 6点×6回」とあるが、この「6回」というはこのままなのか？前後半含め12回になるのでは？
A: 前半だけのつもりで6回と書いていました（そのわりに、「期末テスト」と誤っており、大変申し訳ありません）。御指摘の通り、前後半合わせて12回です。口頭では説明したのですが、中間テストと期末テストを実施します。次回、改めて全体のスケジュール2018を示します。

Q: 重ね合わせが難しいと感じた。
A: 確かに慣れるまでは難しいと思います。間違いを減らすために、代表的な周波数を何点か（一番低い周波数、高い周波数、その中間）選んで、そこは純粋に足し算をして、感覚的に引いた線が正しいかチェックする、というのが良いと思います。

Q: もうちょっとメモできる時間がほしい
A: 私がパワポの授業に不慣れなためと思います。すみません。引き続き改善していきます。

レポート#2 report2.pdf

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第3回(2018.9.28) 第6章フィードバック制御系の安定性†

スケジュール2018
講義スライド &ref(): File not found: "slide03.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2018";
演習問題#2 &ref(): File not found: "exercise02.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2018"; 第4回の授業で解説する予定です（変更の可能性あり）。事前に問題を解いておいてください。

板書1

板書2

板書3

Q: ブロック間の入力はノイズに対応するということは分かりましたが、ブロック間の出力は何に対応するのですか？
A: コントローラC（またはKと表記してました）から出力され制御対象Pに入力される信号の場合、それは制御入力なので、通常は制御対象を動かすためのアクチュエータの信号（または、アクチュエータの出力そのもの（力など））となります。これが発散するということです。実際には限界値で飽和します。

Q: ナイキスト軌跡をかくときに用いるのは P(s), C(s) を用いたフィードバックのとき、P(s)C(s) のナイキスト軌跡を描けばいいのですか？
A: そうです。ナイキストの安定判別＝与えられた開ループ系をネガティブフィードバックで閉じた閉ループ系が安定かどうかの判別、なので、常にナイキスト軌跡を描く対象は開ループ系です。

Q: 21ページに \[ G_{ud}(s) = \frac{-P(s)K(s)}{1+P(s)K(s)} \] はどうやって求めますか。
A: (前向き伝達関数）/（1 + 一巡伝達関数）を使う場合、d から u までの経路に-1倍があることに注意すると、（前向き伝達関数）= -P(s)K(s) となります。次のように求めることもできます：P(s) と K(s) それぞれの入出力信号（のラプラス変換）について、 \[ Y(s) = P(s) (D(s) + U(s)), \quad U(s) = K(s) (0 - Y(s)) \] が成り立ちます。ただし、d から（u まで）の伝達関数を求めようとしているので、R(s) = 0 とおきました。さらにY(s) を消去すると \[ U(s) = -K(s) P(s)(D(s) + U(s)) \] \[ (1 + K(s)P(s))U(s) = -K(s)P(s)D(s) \] よって \[ G_{ud}(s) = \frac{U(s)}{D(s)} = \frac{-K(s)P(s)}{1 + K(s)P(s)} = \frac{-P(s)K(s)}{1 + P(s)K(s)} \] となります。

Q: ついていけなくなってきた。
A: 時間があると思って余分な話をし過ぎたかもしれません。説明を簡潔にして余裕を持って進めたいと思います。できれば質問してもらえると助かります。

レポート#3 report3.pdf

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第4回(2018.10.5) 第6章フィードバック制御系の安定性（つづき）†

講義スライド ... 第3回のつづき（6.3 ゲイン余裕、位相余裕）から
演習問題#2（第3回で公開済）の解説をします（解答例 &ref(): File not found: "exercise02A.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2018"; &ref(): File not found: "exercise02slide.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2018";）

板書1

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Q: レポートのレベルが高い
A: （皆さんは知りようは無いですが去年よりは）問題数は少な目であることと、授業中に関連する話（ヒント）を出していることから、しっかり授業を受けていれば解けると思います。

Q: ナイキスト線図を描くのが難しい。
A: ω=0, ∞ の二点がどこか、ω=∞の位相は何度か、中間の周波数でプロットしやすい点をどう決めるか、などがわかれば描けます。基本的には、ボード線図と同じです。ボード線図はそれほど難しくないなら、ボード線図との関係を考えてみると良いと思います。

Q: フィードバック制御回路で安定性について、開いた系で考えていいのはなぜですか？
A:考えていいかどうかというより、開ループ系の特性が与えられたときに閉ループ系の安定性がどうなるかを知りたいという需要があり、ナイキストの安定判別法があります。そのような需要があるのは、開いた系の応答は制御対象の特性として閉ループを組む前に与えられるためです。実際にはこれに、設計するコントローラの特性がかけ合わされますが、これも設計者が与えるものなので、全体として開ループの特性は閉ループを組む前に分かります。

Q: 今さらなのですが \[ \frac{1}{j\omega + 1} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{\omega^2 + 1}} \] とは \[ \sqrt{\left(\frac{1}{j\omega + 1}\right)^2} \] ということでしょうか？そしたら \[ \sqrt{\frac{1}{-\omega^2 + 2j\omega + 1}} \] となってしまうので誤りでしょうか？
A: 複素数自身とその絶対値は違うので注意してください。つまり、 \[ \left|\frac{1}{j\omega + 1}\right| = \frac{1}{\sqrt{\omega^2 + 1}} \] は正しいですが、 \[ \frac{1}{j\omega + 1} = \frac{1}{\sqrt{\omega^2 + 1}} \] は誤り（ω=0でない限り成り立たない）です。わからなければまた聞いてください。

レポート#4 report4.pdf

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第5回(2018.10.12) 第8章フィードバック制御系の設計法†

講義スライド &ref(): File not found: "slide05.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2018";
演習問題#3 &ref(): File not found: "exercise03.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2018"; 次回以降の授業で解説する予定です。授業範囲内の問題は、事前に解いておいてください。

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板書3

Q: ゲイン交差周波数と位相余裕がごっちゃになってしまいました。
A: 位相余裕は、ゲイン交差角周波数における位相の余裕、なのでごっちゃになるのは最初は仕方ないと思います。慣れてください。ただ、即応性を高める＝ゲイン交差周波数を上げる、減衰特性を良くする＝位相余裕を大きくする、という点は重要なのでごっちゃにならないようにしてください。

Q: 結局、何が言いたいのか分からなかった。
A: 要約すると、望ましい時間応答が開ループ系で特徴付けられるということと、そうなるようにPID補償が使える、という二点です。

Q: レポート難しい
A: 授業中にレポートの問題も関連づけて説明しているので、もし分からなければすぐ質問してもらえると助かります。

レポート#5 report5.pdf

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第6回(2018.10.19) 第8章フィードバック制御系の設計法（つづき）†

講義スライド ... 第5回のつづき（8.3 位相進み-遅れ補償による制御系設計）から
演習問題#3（第5回で公開済）の解説をします（解答例 &ref(): File not found: "exercise03A.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2018"; &ref(): File not found: "exercise03slide.pdf" at page "授業/動的システムの解析と制御2018";）

板書1

板書2

Q: レポート#6の(2)に \[ L(s) = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s+10} \cdot \frac{1}{0.1s+1} \] で \[ \left( \frac{1}{s+10} \right) \] のボード線図は電卓がないときどうやって描きますか。
A: 描きやすいように分けると良いです。たとえば、 \[ L(s) = \frac{1}{0.1s} \cdot \frac{10}{s+10} \cdot \frac{1}{0.1s+1} \] と分けると、 \[ \left( \frac{10}{s+10} \right) \] または \[ \left( \frac{1}{0.1s+1} \right) \] は簡単に描けます。

Q: \[ K(s) = K\frac{\alpha(Ts+1)}{\alpha Ts+1} \] で K(∞) = Kα ではなく K(∞) = K となる理由があわかりません。αはどこへ？
A: 次式が成り立つことによります。 \[ K(\infty) = \lim_{s\rightarrow \infty} K\frac{\alpha(Ts+1)}{\alpha Ts+1} = \lim_{s\rightarrow \infty} K\frac{\alpha Ts}{\alpha Ts} = K \]

Q: 講義スライドの例題がもっとほしい
A: 時間的な制約から、講義スライドには確かに例題が少ないと思います。ただ、基本的な事はこれで理解できると思うので、次は教科書の演習問題を解いたり、MATLABなどボード線図が描けるソフトウェアを利用して、色々な場合を考えてみると良いと思います。または、次回、少し時間が余りそうなので、その際に質問してください。必要に応じてMATLABを使って説明できるようにしておきます。

Q: 「ループ整形」とは、そもそも何をすることなのですか？
A: 開ループ伝達関数(または、一巡伝達関数）のゲイン特性が望ましい形になるように、位相遅れ補償や進み補償などを用いて調整すること、です。

レポート#6 report6.pdf

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第7回(2018.10.26) 第8章フィードバック制御系の設計法（つづき）†

講義スライド ... 第6回のつづき 55枚目から
演習問題#3（第5回で公開済）の解説（つづき、問題2）

板書1

Q: テストが心配
A: レポートの内容を理解していれば大丈夫です。

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第8回(2018.11.2) 中間テスト†

試験内容: レポート課題の中から、数値を変えて出題する
持ち込み可能なもの: 筆記用具のみ（電卓の持ち込みはできません）
試験時間: 85分

2018.11.2 前半の成績を掲示しています。レポート返却場所にて。確認してください。採点結果に疑義がある場合は申し出ること。

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第1回(2018.11.9) 後半（現代制御）概要～第１章　システムを状態方程式で記述する†

この授業の目的：与えられた物理系に対して、最適制御系を設計できるようになる

シラバス syllabus.pdf
成績の評価方法と評価項目：レポート(36% = 6点×6回=36点)、期末テスト(64%)
教科書：「演習で学ぶ現代制御理論」(森泰親著、森北出版)
古典制御と現代制御の違い（長所と短所）
伝達関数と状態空間表現の関係（簡単な運動方程式を例に）

Q: 古典制御と現代制御を比較すると古典制御の方が多く用いられている気がするのですが、実際はどうなんでしょうか。
A: 世の中にある制御系の9割はPID制御である、という話を聞いたことがあるかもしれません。実際、現在市販されている汎用サーボモータにおいてもPID制御やノッチフィルタなど、古典制御は広く利用されています。ただ、この事から直ちに、古典制御が使えれば十分である、とはならないので注意してください。例えば、（前半の授業でも開ループ系の安定性を仮定したように）世の中にある制御対象の多くは安定系です。何も制御入力を与えなくても、信号が発散することはありません。また、単純な振動系など、低次のシステムと捉えられる場合も多くあります。そのような制御対象に対しては、古典制御でも十分な制御性能が得られます。すなわち現実は、古典制御で十分対応できる制御対象が世の中に多く存在するから見掛け上「古典制御が9割」となっている側面があるので注意してください。比較的小数ではあっても、不安定系や高次系など、古典制御で十分な性能が得られない制御対象は存在し、その場合に現代制御（や、その後の進んだ制御理論）が役立つことになります。逆に、そうでなければ、古典制御以降の発展はありません。

Q: y=CX の部分がよく分からなかった。
A: 黒板のどの辺りの話か教えてもらえると助かります。

レポート#7 report7.pdf

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第2回(2018.11.16)第２章システムの応答と安定性†

解析問題と設計問題: 解析が基本、今日は解析を扱う。特に安定性
古典制御における安定性：インパルス応答がt→∞で0に収束する
⇔ 現代制御における安定性：任意の初期値に対する応答がt→∞で0に収束する
⇔ 伝達関数の極の実部がすべて負
⇔ A行列の固有値の実部がすべて負
復習：たたみこみのラプラス変換、行列の固有値と固有ベクトル、逆行列
状態遷移行列の定義、状態遷移行列のラプラス変換

Q: |A - λI| と |λI - A| は同じだと思うのですがどちらで計算してもよいですか？
A: よいです。

Q: システムが安定かどうかの条件はまだわかりません（u=0のとき）（Routhの表を使っていいですか）
A: 使っても良いです。

Q: Re{λi} < 0 ∀i は、すべてのAの固有値の実部が0以上ということでいいでしょうか？
A: 0以上ではなく0未満です。

レポート#8 report8.pdf

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第3回(2018.11.30) 第3章可制御性(3.3可制御性とその条件), 第5章極配置法(5.1 フィードバック係数ベクトルを直接計算する)†

解析から設計へ、出力フィードバック（難)→状態フィードバック（簡単、基本）
閉ループ系のA行列 = A - BF
A-BFの固有値をFによって任意に指定できる=可制御性
例1(Fによる固有値の指定不可)、例1'(指定可)
可制御性の定義
可制御性の判定方法(可制御性行列の正則性)
レポート対策

Q: 分かりません
A: 具体的に聞いてもらえれば答えます。

Q: ペースが速かったです。
A: 終わってから気づきました。申し訳ありません。例題など、各自でやってもらう時間をとるべきでした。

レポート#9 report9.pdf

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第4回(2018.12.07) 第6章最適レギュレータ §6.1 評価関数と最適制御†

簡単な例題（a, x, b, u, f がすべてスカラ~~、b > 0~~）... 最適制御を直感的に理解できる
(i) x(t)→0の収束する速さ、(ii) u(t)を小さく抑えること、にトレードオフがある
極配置法では、(i),(ii)のバランスを客観的に取りにくい
最適制御では、(i),(ii)のバランスを客観的に取れる
最適レギュレータ問題と、その解（リカッチ方程式、P>0）
最適制御の結果を使わずに J を最小化する f を求める ... f の二次方程式、閉ループが安定となる解を選ぶ
＊1：f の二次方程式とリカッチ方程式の関係
＊2：閉ループ系の安定性と P > 0 の関係
＊3：Jの最小値を求める
q を大きくする（(i) を重視する）と、|f| と |a-bf| が大きくなる

Q: リカッチ代数方程式のスカラーに対応する式が分かりにくかった。
A: f=bp/r の下で、どちらも同じ二次方程式（一方はfについて、もう一方はpについて）である、ということが分かってもらえれば十分です。

レポート#10 report10_fixed.pdf

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第5回(2018.12.14) 第6章つづき～ §6.2 重み行列と正定・半正定、§6.3最適制御系の安定性†

行列へ拡張: q→Q≧0, r→R>0
(半)正定行列の定義
対称行列の固有値と正定性の関係(演習6.6), 対称行列の固有値はすべて実数(演習6.8) proof3.pdf
最適制御⇒安定かつJが最小証明
最適レギュレータの設計(演習6.3,6.4)：リカッチ方程式の解P、P > 0 ⇒ 対応する F が閉ループ系を安定化

Q: 朝起きられません
A: 夜早めに寝てみてください。

Q: レポート対策で、Pは正定だから対角成分が正と仮定しているのに、次の問でPが正定であることを示すのに違和感があった。
A: はっきり説明すべきでしたが、リカッチ方程式の（正定とは限らない）解は複数存在します（今日説明した例でも、p2 = ±1、p3 = 1, -3 などの可能性があった通りです）。よって、リカッチ方程式の解が一つ求まったとしても、それが正定であるとは限りません。p3 = -3 と選んでしまうとその時点で正定でないことが確定してしまうので、p3 = 1 と選ぶ必要がありますが、これはPが正定であるために十分ではありません。そのため、(2)で正定性を調べています。とても良い質問で、もし授業中に質問してくれていたら、不十分な説明の良い補足になったと思います。

レポート#11 report11.pdf

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第6回(2018.12.18) §9.1状態観測器の構造†

状態xが使えない場合
(方法1) 状態の代わりに出力yを使う = 静的出力フィードバック ⇒ ダメ
別の方法：状態を推定して、それをxの代わりに使う
状態観測器の定義：t→∞で誤差 x(t) の推定誤差が0となる
(方法2) 状態観測器? (演習9.1) + 状態フィードバック ⇒ ダメ
(方法3) 状態観測器((9.3)式, 演習9.2) + 状態フィードバック
状態観測器を作る（（9.3)式の導出、方法２は状態観測器にならない）
可観測性（可制御性との関係）
演習9.3'：A - L C を安定（固有値の実部がすべて負）とする L の求め方

Q: □7（方法2）... L=0とした（方法3）
聞き逃しかもしれませんが、（方法2）..._____（方法3）
と方法が2通り混在して書かれている意味が見返すとわからなくなってしまいました。
A: （方法2）は（方法3）の特別な場合、つまり L=0 とした場合、y を使用しない場合です。答えになっていない場合はまた聞いてください。

Q: レポート#12はいつ返却予定か？
A: 21日（木）10:00に返却予定です。

レポート#12 report12.pdf

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