3.2 モデル化誤差とロバスト制御

実システムの周波数応答に完全に一致する伝達関数 -- 真の伝達関数 -- を 求めることは現実的には不可能であり，通常，両者の間には，伝達関数に近似 しきれなかった誤差 -- モデル化誤差 -- が存在する． このモデル化誤差を無視して，補償器を設計・実装すると， 閉ループ伝達関数の ${\mathcal{H}_\infty}$ ノルムが，設計時の見積もりを超えて劣化した り，最悪の場合，制御系が不安定になることがある． 後者は致命的であり，この場合，消音制御系は発振し，大振幅の音が二次音源 スピーカから出力されることとなる．

以降では，課題1で求めた 4 つの伝達関数を，真の伝達関数 から区別するために， $\bar G_{zw}(s)$, $\bar G_{zu}(s)$, $\bar G_{yw}(s)$, $\bar G_{yu}(s)$ と表記することにしよう． これらの伝達関数は，ノミナル伝達関数(Nominal Transfer Function)と呼ば れる．

制御系が不安定となるのを防ぐためには，$G(s)$ の 4 つの伝達関数のうち， フィードバックループを構成する伝達関数 $G_{yu}(s)$ のモデル化誤差を 考慮して $K(s)$ を設計すれば良い． モデル化誤差の考慮の仕方は幾つかあるが，ここでは， 加法的摂動モデルを用いて，モデル化誤差を考慮することにする． この場合，真の伝達関数 $G_{yu}(s)$ は，ノミナル伝達関数 $\bar G_{yu}(s)$ を用いて，次のように表される．

$$G_{yu}(s) = \bar G_{yu}(s) + W(s) \Delta(s)$$ (4)

ここで，右辺第二項が加法的摂動で，$W(s)$ はその重み関数，$\Delta(s)$ は正規化された摂動( ${\mathcal{H}_\infty}$ ノルムが $1$ 以下の安定な伝達関数)である．

$W(s)$ は (4)式が有効なモデルとなるように決定されなければ ならない． (4)式を $\Delta(s)$ について解き， $\vert\Delta(j\omega)\vert \leq 1$ の条件を適用すると，

$$\vert G_{yu}(j\omega) - \bar G_{yu}(j\omega)\vert \leq \vert W(j\omega)\vert$$ (5)

を得る．すなわち，$G_{yu}(s)$ のモデル化誤差のゲイン特性をプロットし， それを上から覆うように，$W(s)$ を決定すれば良い． このとき，できるだけ高い制御性能を達成するために， モデル化誤差をできる限りタイトに覆うように $W(s)$ を決定する．

課題 3 (5)   式を導出せよ．

課題 4   実験データから，$W(s)$ を決定せよ．